La brieveté de la vie
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produit scalaire (première)Produit Scalaire : Rappels et Applications
I. Définition du produit scalaire
Définition 1) Le produit scalaire de deux vecteurs Si ou alors On appelle carré scalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par :
le produit scalaire
et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :
II. Calcul
Quels que soient les vecteurs a) b) c) d) e) et les réels et :
III. Orthogonalité
IV. Vecteur normal
Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D.
V. Application à l'analyse
Soient un repére orthonormal , et . On a :
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produit scalaire (première)
VI. Coordonnée d'un vecteur normal
Soit D la droite d'équation Alors est normal à D dans un repère orthonormal .
VII. Théoréme d'Al Kashi
Soit ABC un triangle quelconque . On a :
VIII. Théoréme de la médiane
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] . On a :
IX. Aire d'un triangle
X. Applications
Dans chaque cas, déterminons l'ensemble des points M vérifiant l'égalité : a) L'ensemble des points M forme la médiatrice de [AB] b) L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB) passant par A c) (1) En introduisant I milieu de [AB] :
(1)
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produit scalaire (première)
Comme I est le milieu de [AB] , donc De plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre , On en déduit : soit : Il advient :
(1)
L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB] d) pour tout a positif (2) On introduit le milieu I du segment [AB] :
(2)
Si l'ensemble vide. Si
, l'équation n'aura pas de solution. L'ensemble des points M est ,
(2)
L'ensemble des points M représente le cercle de centre I et de diamètre Si , l'ensemble des points M est réduit au point I.
e) pour tout a réel. (3) Même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB]. On obtient alors :
En