Second degré Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
LE SECOND DEGRÉ
Exercice de motivation : un rectangle a pour périmètre P = 14m et pour aire S = 12m
2
.
Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
Modélisation : Soient x et y les dimensions de ce rectangle, on a : x + y =
P
2
= 7 et xy = S = 12
En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x
2
– 7x + 12 = 0.
Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit.
1. Fonction polynôme du second degré
Définition 1
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme :
P(x) = ax
2
+ bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0
L'expression ax
2
+ bx + c est encore appelée trinôme du second degré.
Exemples : x
2
– 7x + 12 (a = 1 ; b = -7 ; c = 12)
5x
2
+ 1 (a = 5 ; b = 0 ; c = 1)
4x
2
(a = 4 ; b = 0 ; c = 0)
(x + 1)(x + 2) peut s’écrire x
2
+ 3x + 2
Contre-exemples : 2x + 1 est un binôme du premier degré
6x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 est une expression du 3 ème degré
(x – 1)
2
– x
2
est du premier degré.
Exercice : démontrer que si deux fonctions polynômes du second degré P et Q sont égales (sur ), alors leurs coefficients sont égaux.
Notons P(x) = ax
2
+ bx + c et Q(x) = a'x
2
+ b'x + c'.
Dire que les fonctions P et Q sont égales sur  signifie que pour tout réel x, on a : ax 2
+ bx + c = a'x
2
+ b'x + c' (S)
En particulier, avec x = 0, on obtient immédiatement c = c'.
L'égalité (S) devient alors : ax
2
+ bx = a'x
2
+ b'x
En particulier, avec x = 1 puis avec x = -1, on obtient respectivement : a + b = a' + b' et a - b = a' - b'
En ajoutant, puis en soustrayant, membre à membre ces deux égalités, on obtient : 2a = 2a' et 2b = 2b'.
On a donc finalement : a = a' ; b = b' et c = c'
Les coefficients de P et Q sont donc bien égaux.
Définition 2
On appelle racine du trinôme toute valeur de la variable x solution de