Les moyens de lutte contre l'inflation

Pages: 21 (5023 mots) Publié le: 29 janvier 2011
Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e

1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e


a)
0 ∞

dx (1 + ex )(1 + e−x ) ln x dx x2



b)
0 1

e− √



x

1

x

dx

c)
0

ln x dx

d)
1 ∞

e)
0 ∞

ln x dx (1 + x)2



f)
0 π/2

xn e−x dx

(n ∈ N)

g)
0

arctan x dx 1 + x2

h)
a

dx (a > 0, r > 0) x(x + r)

i)
0cos 2xdx √ sin 2x

2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e
∞ π/2 √ 1 2 √ e− x +x+1 dx x ∞ −t2 ∞

a)
0

b)
−π/2

ln(1 + sin x) dx

c)
0

e

dt

d)
0

1 + sin t √ dt . 1 + t3

3. D´terminer pour quelles valeurs du couple (α, β) ∈ R2 les int´grales suivantes sont convere e gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y aconvergence).


a)
0

dx xα (1 + xβ )



b)
0

ln(1 + xα ) dx xβ



c)
0 ∞

(1 + t)α − tα dt . tβ

4. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’int´grale I(n) = e
1

ln x dx converge et calculer I(n) xn

dans ce cas.


5. Soit I(λ) =
0

dx (1 + x2 )(1 + xλ )

. Montrer que I(λ) converge pour tout r´el λ et calculer e

cette int´grale en utilisant le changementde variable t = 1/x. e


6. Soit I =
0

e−t − e−2t dt. t
∞ 2ε

a) Montrer que I est convergente. b) Pour ε > 0, ´tablir, en posant x = 2t, la relation e
ε

e−t − e−2t dt = t

ε

e−t dt . t

c) En d´duire la valeur de I. e
π/2

7. Soit J =
0

ln sin x dx.

1

π/2

a) Montrer que J est convergente et que l’on a J =
0 π/2

ln cos x dx.

b) Montrer que 2J =
0

lnsin 2x dx, et en d´duire la valeur de J. e 2

8. Montrer que les int´grales suivantes sont semi-convergentes : e


a)
π

cos x √ dx x



b)
−1

cos(x ) dx (poser u = x ) c)
π

2

2



x2 sin(x4 ) dx .


9. Soit f une fonction de R dans R continue et p´riodique dont l’int´grale e e
0

f (x) dx est conver-

gente. Montrer que f est la fonction nulle.(Raisonner par l’absurde : supposer que f (c) = 0 pour un certain r´el c, et montrer que le crit`re de Cauchy est alors contredit). e e 10.
∞ a

Soit f une fonction uniform´ment continue de [ a, ∞ [ dans R, telle que l’int´grale e e
x→∞

f (x) dx converge. Montrer que lim f (x) = 0 (montrer que sinon le crit`re de Cauchy see rait contredit). 11. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que,quand x tend vers ±∞, on ait 1 . f ′ (x) = O x2 a) D´montrer que les limites L et ℓ de f en +∞ et −∞ respectivement existent. e b) On suppose en outre que, pour tout x r´el, on a |f ′ (x)| ≤ e 12. Soit f une fonction d´croissante de [ a, ∞ [ dans R+ . e


x2

1 . Montrer que |L − ℓ| ≤ π. +1

a) Montrer que si l’int´grale e
a

f (t) dt converge, alors lim xf (x) = 0.
x→∞ 2x(Remarquer que l’on a, si x ≥ a, l’in´galit´ : xf (2x) ≤ e e

f (t) dt).
x

b) Montrer par un contre-exemple que la r´ciproque est fausse. e 13. D´terminer la limite des suites (an ) d´finies ci-dessous : e e
∞ 1 +∞ +∞

a) an =
0

arctan(nx) dx , b) an = n(1 + x2 )
0

dx , c) an = 1 + xn
1

dx , d) an = 1 + xn
0 ∞

arctan n+1 x n dx . 1 + x2

14. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ Nl’int´grale Jn = e
0

dx converge. Calculer J1 , (x3 + 1)n

puis montrer que si n ≥ 2, on a Jn+1

3n − 1 Jn . En d´duire Jn si n ≥ 1. e = 3n 2

Corrig´ e
1. a) On a 1 (1 + ex )(1 + e−x ) = ex . (1 + ex )2

Cette expression est de la forme u′ /(1 + u)2 et admet comme primitive −1/(1 + u). Donc


0

1 dx = − x )(1 + e−x ) (1 + e 1 + ex
√ x /√x x

∞ 0

=

1 1 1 − lim = . x 2x→∞ 1 + e 2

b) Une primitive de e−


est −2e−



x,

donc
∞ 0

e− √



x

dx = − 2e−



x

= 2( lim e−
x→0



x

− lim e−
x→∞



x

)=2.

0

c) Une primitive de ln x est x ln x − x. Donc
1 1

ln x dx = x ln x − x
0

0

= −1 − lim (x ln x − x) = −1 ,
x→0

car la limite de x ln x est nulle en 0. d) En int´grant par parties e ln x ln x...
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