loi binomiale
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DCG UE11Fiche 1 en Probabilités
La loi Binomiale
I) Contexte d’application :
Soit une épreuve E de Bernoulli, c’est à dire une épreuve à deux issues possibles :
S = Succès
On répète
n
p = P (S )
E = Echec
Epreuve de Bernoulli :
de Probabilité de Probabilité
q = P (E ) = 1 − p
fois cette même épreuve et ceci de manière indépendante.
On s'intéresse alors à la variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations de l’événement
S (succès) au cours de ces n épreuves indépendantes.
X = nombre de succès S obtenus sur les n épreuves
Dans ces conditions, on dit que X est une variable aléatoire suivant la loi Binomiale de paramètres n et p , où n représente le nombre d’épreuves indépendantes et p représente la probabilité de réalisation de l’événement S .
Cette loi est notée
B( n; p
)
.
II) Loi de probabilité :
Une variable aléatoire la loi notée
X Binomiale, de paramètres n et p , est la variable aléatoire discrète suivant
B ( n ; p ) définie de la manière suivante :
• Valeurs possibles :
X
prend toutes les valeurs entières de
X (Ω ) =
• Probabilités associées :
k
P ( X = k ) = Cn p k q n − k
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0
à
n , soit :
{ 0 ; 1 ;L; n }
Pour tout
où
k = 0 ; 1; 2 ;L; n
0< p 5
alors la loi Binomiale
B(n; p)
par la loi Normale
(
peut être approchée
N n p;
n× p× q
)
2) Approximation d’une loi de Poisson par une loi Normale :
m > 15
Si
alors la loi de Poisson
P(m)
par la loi Normale
peut être approchée
(
N m;
m
)
3) La correction de continuité :
Si une variable aléatoire discrète X peut être approchée par une variable aléatoire continue, il faut procéder à une correction de continuité.
En effet, pour l’exemple de l’approximation des lois discrètes Binomiale ou de Poisson par une loi continue de type Normal, cela revient à considérer que la variable discrète est assimilable