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Pages: 8 (1952 mots) Publié le: 8 janvier 2015
Énoncés
Triangles homothétiques
La propriété dite " petite propriété de Thalès " concerne un triangle coupé par une droite parallèle à l'un de ses côtés.

Cette propriété (ainsi que sa réciproque) est généralisée (appelée dorénavant : " théorème de Thalès ") avec deux triangles partageant un même sommet, ayant chacun deux côtés dans le prolongement l'un de l'autre et leur troisième côtéparallèle.

Pour résumer, lorsque nous sommes dans une situation telle que nous avons :
deux droites sécantes,
deux points supplémentaires sur chacune des deux droites,
deux droites parallèles passant par ces points,
nous pouvons appliquer le théorème de Thalès qui énonce que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes et le rapportde la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux.
Dans les deux cas, les droites (DE) et (BC) sont parallèles ((DE)//(BC))
et nous avons les égalités :

L'utilisation de ce théorème est plutôt visible et directe : le nombre de conditions nécessaires à son application est faible (mais pas négligeable) et on pourra souventl'utiliser.
Il permettra par exemple de calculer la longueur de certains segments manquants.
En effet, chaque segment peut se déduire de la mesure de trois autres. Par exemple :

et

Ou bien de prouver que deux droites ne sont pas parallèles. En effet si l'une des trois égalités n'est pas vérifiée alors forcément les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles. Par exemple : si ou si ou siEnseignement
Dans les pays anglo-saxons ainsi qu'en Allemagne, l'approche est différente et l'énoncé est : " un angle inscrit dans un demi-cercle est droit " - voir l'article théorème de Thalès anglo-saxon.
En France, la " petite propriété de Thalès " est enseignée dès la classe de quatrième. Le " théorème de Thalès " à proprement parler est généralisé en troisième.
En Suisse, le théorème estprincipalement approché grâce à la " petite propriété de Thalès " française. Le " théorème de Thalès suisse " exprime par contre la hauteur dans un triangle rectangle. (lien)
Segments homologues
En réalité, le théorème de Thalès concerne une propriété plus générale:

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.
Autrement :
Si troisdroites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

En permutant les termes moyens des fractions, on peut faire naître d'autres égalités de rapports :

Ces rapports traduisent la propriété suivante : la projection d'une droite sur une autre, suivant une direction donnée, conserve les proportions.
Remarque : Attention siil ne faut surtout pas utiliser les rapports utilisant les segments rouges comme c'est le cas avec les triangles homothétiques.
Démonstrations
Par les aires

La démonstration de ce théorème a été donnée par Euclide dans le livre VI de ses Éléments, proposition 2. La propriété démontrée par Euclide n'est pas exactement le théorème comme il est cité de nos jours. Euclide écrit :
" Si l'onconduit une droite qui soit parallèle à l'un des côtés d'un triangle, cette droite coupera les deux autres côtés proportionnellement "
Il précise ensuite
" Si la droite (DE) est parallèle à la droite (BC) alors CE est à EA comme BD est à DA "
Nous allons voir comment ce théorème est démontré par Euclide et comment cette propriété peut induire le théorème sous sa forme actuelle.
Voici ladémonstration retouchée en notation et vocabulaire modernes, les passages dans le style euclidien bénéficieront d’un alinéa.
Les triangles ADE et CDE sont entre eux comme leurs bases AE et EC sont entre elles.
Les aires des triangles ADE et CDE sont respectivement ½AE×h’ et ½CE×h’, en effet, ils ont la même hauteur h’.
Les triangles BDE et CDE ont même aire car ils ont même base DE et même hauteur...
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