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D

A B I

F

E

O

C

1) Calculons les coordonnées des vecteurs CB 3 9 (3;9) 2 6 CF

CB

et

CF

:

(2;6)

3 x 6 - 9 x 2 = 18 - 18 = 0. Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité donc CB et CF sont colinéaires. Donc les droites (CB) et (CF) sont parallèles (et confondues !). Donc B, C, et F sont alignés.

2) Calculons les coordonnées des vecteurs AE ( -2 ; -6 ) BC

AE

et

BC

:

( -3 ; -9 )

On montre de la même manières qu'ils sont colinéaires. Donc les droites (AE) et (BC) sont parallèles. CQFD. 3) Equations de la droite (AB) : Calculons les coordonnées du vecteur AB : AB ( 3 ; -1 )

Donc une équation cartésienne de (AB) est : -(-1) x + 3 y + c = 0, soit : x + 3 y + c = 0. On remplace dans cette équation x et y par les coordonnées du point A : -2 +3 (5) + c = 0. D'où c = -13. Donc une équation de (AB) est : x + 3 y - 13 = 0. En utilisant la même méthode, on trouve ceci : Equation de (CD) : - 4 x + 3 y + 7 = 0. Equation de (EF) : x - 2 y + 2 = 0.
Notons que ces droites ne sont pas parallèles deux à deux (car vecteurs directeurs non colinéaires)

4) Cherchons l'intersection I entre (AB) et (EF). Les coordonnées de ce point I sont solutions du système : x + 3 y - 13 = 0 x-2y+2=0 (1) (2)

On fait (1) - (2) : 5 y - 15 = 0. D'où y = 15/5 = 3. Ensuite, on remplace y par 3 dans (1) : x + 9 - 13 = 0. D'où x = 4. Les coordonnées du point I sont (4 ; 3). On vérifie d'ailleurs qu'en remplaçant x par 4 et y par 3, que le système est bien vérifié. L'équation de (CD) est : - 4 x + 3 y + 7 = 0. On vérifie facilement qu'en remplaçant x par 4 et y par 3 que l'équation de (CD) est aussi vérifiée. Donc I appartient aussi à (CD). Conclusion : Les droites (AB), (CD), et (EF) sont concourantes en 1 seul point I( 4 ; 3). 5) On a ici : A (-2 ; 5 ) et I( 4 ; 3). Cherchons les coordonnées du milieu du segment [AI] : En abscisse : (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1. En ordonnée : (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4. On reconnait l'abscisse