CHAPITRE

9

Produit scalaire

ACTIVITÉ

(page 215) donc δ = 2AB × BH = 2AB × BC × cos θ.

Activité
1 S = AC2 – AB2 – BC2 = CH2 + AH2 – AB2 – (CH2 – BH2)
= AH2 – AB2 – BH2.

2 • Figure 1 : AH2 = AB2 + BH2 + 2AB × BH ;

• Figure 2 : δ = (AB – BH)2 – AB2 – BH2 = – 2AB × BH.
Or, dans le triangle rectangle CHB,
BH = BC cos (π – θ) = – B cos θ.
Donc : δ = 2AB × BC × cos θ.
• Figure 3 : même démonstration.

PROBLÈME OUVERT
Considérons le repère orthonormé ΂ A ; ai, aj ΃, dans lequel :
B(6 ; 0) et D(0 ; 6).
Alors : G(– 4 ; 0) et E(0 ; – 4). Il en résulte que O(– 2 ; 3).
La droite (EB) a pour équation 2x – 3y – 12 = 0 et (OA) a
3
x. Donc H, intersection des deux pour équation y = –
2
24
36
droites, a pour coordonnées
.
;–
13
13
1 872 4 212 6 084
AH2 + HB2 =
+
=
= 36 = AB2.
169
169
169

΂

΃

1

a) EAC(2 ; – 5) et EAB(4 ; 2) ; donc EAB · EAC = – 2.
2π
1
=2×2× –
= – 2.
b) EAB · RAC = AB × AC × cos
3
2 π 12
c) EAB · EAC = AB × AC × cos = 2 × 212 ×
= 4.
4
2

΂ ΃

EAB(– 2 ; 4) et RAC(2 ; –1) ; donc EAB · RAC = – 8.

3

a) u · v = 2 × 1 + 3 × (– 2) = – 4. r r
2π
= – 5.
b) u · v = 5 × 2 × cos – r r
3
1
3
c) u · v = (16 – 9 – 4) = . r r
2
2

΂

= EAG · EAB – EAD · EDE
= – AG × AB + AD × AE
= – 24 + 24 = 0.
D’où l’orthogonalité des deux vecteurs EOA et ZEB, qui prouve que (DA) Ќ (EB).

Application (page 220)

EXERCICES

2

Le triangle AHB est rectangle en H, d’où le résultat.
• Après le chapitre…
EAG + EAD = 2EAO et ZEB = EAB – EAE.
Donc : 2EAO · EEB = ΂ EAG + EAD΃ · ΂ EAB – EAE΃

΃

1
.
2
1
1
b) EOA · ROC = OA × OC × – = – .
2
2
c) EOA · RBC = – OA × BC = –1.

4

a) EOA · EOB =

d) EOA · EAD = – 2.

5

1. On choisit EAB · RAC = AB × AC × cos kBAC.

2. 18 = 6 × 213 cos jBAC ; donc : cos kBAC =

π
13
et kBAC = .
6
2
Chapitre 9 ● Produit scalaire

97

Or : EOA · RDC = EAB · ROD = 0.
Donc : EOB · ROC = – OA2 + AB × DC = – 4 + 15 = 11.

6