------------------------------------------------- Lycée 20 Mars 1956 Devoir de Contrôle N°1 Prof : Ben Abdallah
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Sfax 4emeMATH 2h :00 2011-2012
EXERCICE N°1 : (3pts)

Répondre par vrai ou faux sans justification :
1/ le complexe i et (-i) sont les seules solutions de l’équation z3- iz2 + z – i = 0.
2/ Dans l’équation |z2| = |z| admet une infinité des solutions.
3/ la suite U définie sur IN* par Un= 1n2 + 2n2 + … + nn2 converge vers 0.
EXERCICE N°2 : (5pts)
Soit f la fonction définie par f(x) = xcos(πx2) si x < 0. F(x) = x2(1-x)x2+x-2 si x≥0.
1/Déterminer le domaine de définition de f .
2/ Calculer limx→+∞f(x) et limx→+∞f(x)x et interpréter le résultat graphiquement.
3/ a) Donner un encadrement de f(x) sur ]-∞,0[ et calculer limx→0-f(x). b) Montrer que f est continue en 0. c) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans [-2,-1] au moins une solution ∝ . d) Montrer que (-2) est la seule solution dans [-2,-1] de l’équation f(x) =0.
4/ f est elle prolongeables par continuité en 1. EXERCICE N°3 : (6pts) soit Un la suite définie sur IN par U0=0 et Un+1= (1+Un)3+Un2 pour tout n∈IN.
1/ Montrer que pour tout n∈IN 0 ≤ Un < 1.
2/ a) montrer que pour tout n∈IN Un+1 > (1+Un)2 ; en déduire que (Un) est croissante. b) Montrer que (Un) est convergente. c) Soit Vn = k=0n(2Uk+1-Uk) ; n∈IN montrer que limn→+∞Vn= +∞.
3/ a) Montrer que pour tout n∈IN 0 < 1- Un+1 ≤ 12(1- Un). b) En déduire que ∀ n∈IN 1- Un ≤ (12)n, calculer alors limn→+∞Un. c) Soit Sn=k=0n-1Uk , montrer que Sn ≥ n2 - k=0n-1(12)k . d) Donner un encadrement de Sn puis calculer limx→+∞Snn2 .

EXERCICE N°4 : (6pts)
(o,u, v) est un R. O. N. D du plan P on considère les points A(i) etB(-i) t f