une si longue lettre
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Exercice A21°) C étant le point d'affixe i 2 , le point C' = f(C) a pour affixe :
(i 2 - 4)(- i 2 - 1) = 2 - i 2 + 4 i 2 + 4 = 6 + 3 i 2 = 2 + i 2 .
Z=i 2 -4=
3
2+1 i 2 - 1 (i 2 - 1)(- i 2 - 1)
Le point C' a pour affixe 2 + i 2 .
2°) Un point M (distinct de A) est invariant par f si et seulement si f(M) = M. f(M) = M ⇔ Z = z ⇔ z - 4 = z ⇔ z - 4 = z2 - z ⇔ z2 - 2z + 4 = 0 z-1 L'équation z2 - 2z + 4 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels, on peut donc la résoudre en calculant son discriminant : ∆ = (- 2)2 - 4 x 4 = 4 - 16 = - 12 = (2i 3 )2 et z2 = 1 + i 3
L'équation z2 - 2z + 4 = 0 a donc pour solutions z1 = 2 - 2i 3 = 1 - i 3
2
Donc f a deux points invariants : le point I d'affixe 1 + i 3 et le point J d'affixe 1 - i 3 .
Voir dessin ci-dessous.
3°) Les points M, M', A et B ayant pour affixes respectives z, Z, 1 et 4, on sait que :
|Z| = OM' ; |z - 4| = BM et |z - 1| = AM.
D'autre part, comme Z = z - 4, on a aussi |Z| = z - 4 = |z - 4| = BM . z-1 |z - 1| AM z-1 BM = 1 ⇔ AM = BM ⇔ M est sur la médiatrice de [AB].
AM
L'ensemble D des points M d'affixe z tels que |Z| = 1 est la médiatrice de [AB].
On peut alors écrire :
|Z| = 1 ⇔
(A et B ayant pour affixes respectives 1 et 4, il est immédiat que D est la droite d'équation x = 5 ).
2
Si un point M d'affixe z appartient à D, alors on a |Z| = 1, donc le point M' appartient au cercle de centre
O et de rayon 1.
Donc l'ensemble des images des points M de D est contenu dans le cercle de centre O et de rayon 1.
Z=z-4.
On peut alors écrire : z-1 2
2
X + i Y = x + iy - 4 = (x - 4 + iy)(x - 1 - iy) = x - x - ixy - 4x + 4 + 4iy + ixy - iy + y
2 + y2 x + iy - 1 (x - 1 + iy)(x - 1 - iy)
(x - 1) x2 - 5x + 4 + y2 + 3iy = x2 - 5x + 4 + y2 + i
3y
donc X + i Y =
(x - 1)2 + y2
(x - 1)2 + y2
(x - 1)2 + y2
Comme on sait que x, y, X et Y sont réels et que deux nombres complexes égaux ont même partie réelle et même partie imaginaire, on en déduit que :
2
2
3y
X = x