Matématicas fonctions affines

Pages: 6 (1341 mots) Publié le: 23 mai 2013
FONCTIONS AFFINES

I- DEFINITIONS a et b sont deux nombres donnés. La fonction f qui à tout réel x associe le nombre f x   ax  b est appelée fonction affine. Si b  0, on dit que f est linéaire.  f x   ax  Si a  0 , on dit que f est constante.  f x   k  Toute fonction linéaire est donc affine ! f : x  3 x est une fonction affine et linéaire a  3 et b  0  .

Reconnaître unefonction affine : (question type) a) f x   2x  2 3 2 x √2 2 2 f (x)= + = x+ √ . 3 3 3 3

f (x) s'écrit a× x+b avec a=

2 √ 2 donc f est une fonction affine. et b= 3 3

b) g x   x  1 2  x  1 2 g ( x)=x 2 −2 x+1−( x 2+2 x+1) = x 2+2 x+1−x 2−2 x−1 =−4 x g est non seulement affine avec a=−4 et b=0 , mais g est aussi linéaire. c) hx   3 x h( x)= √ 3× √ x . h n'est pas linéaire.Attention à ne pas confondre h avec la fonction x → √ 3 x qui, elle, est linéaire. x2  4x  4 d) k x   x 2 2 ( x – 2 ) ( x−2)(x−2) k ( x )= = =x−2 x−2 x−2 Mais attention : 2 n'a pas d'image par la fonction k ! k est définie sur IR\{2}, ou encore sur ]−∞ ; 2[∪]2 ;+∞[ k n'étant pas définie sur IR, k n'est pas une fonction affine.

II- REPRESENTATION GRAPHIQUE 1- Représenter une fonctionaffine. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation réduite y=ax+b . Si, de plus, la fonction est linéaire, alors cette droite passe par l'origine. a s'appelle le coefficient directeur de la droite, et b est l'ordonnée à l'origine (c'est l'image de 0). Exemple 1 : f est la fonction x → 2 x+3 . Sa représentation graphique est alors la droite d'équation y=2 x+3 . L'imagede 0 est : f (0)=2×0+3=3 C'est l'ordonnée à l'origine. Ainsi, on place le point A de coordonnées (0 ; 3).

Méthode 1 : Tableau de valeurs +1
x f ( x) -3 -3 -2 -1

+1
-1 1

+1 A
0 b=3

+1
1 5

+1
2 7

+2 Méthode 2 : Méthode de l'escalier

+2

+2

+2

+2

Le coefficient directeur est 2. En partant de A, on avance à droite de 1 et on monte de 2 et on recommence.

Exemple2 : (question type) f :x→ 2 x−3 . 7 2 3 2 3 f (x ) s'écrit x – donc f est une fonction affine avec a= et b=− . 7 7 7 7

3 Ici, l'ordonnée à l'origine est − , donc elle n'est pas entière. 7 3 Le point de coordonnées 0 ;− est sur la droite représentant f, mais n'est pas facile à placer 7 précisément.

( )

Trouvons un point plus facile à placer en remplaçant x par des valeurs entières : Aprèsplusieurs essais, on trouve que si x=−2 , alors son image est −1 . On place le point A de coordonnées (-2 ; -1). Puis on applique la méthode de l'escalier : 2 Si on avance de 1, on monte de , 7 ou plutôt : Si on avance de 7, on monte de 2.

2- Remarque : Toute droite représente-t-elle une fonction affine ? Une droite parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme x  k. Ces droites ne représentent pas de fonction (car k aurait une infinité d'images!!!)

Toutes les autres droites (c'est-à-dire les droites non parallèles à l'axe des ordonnées) admettent une équation réduite de la forme y=ax+b et sont les représentations g raphiques de fonct ions affines.

Remarque : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Dansun RON (repère orthonormé), deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

3- Le coefficient directeur Considérons de nouveau la droite d'équation y=2 x+3 de l'exemple 1. Choisissons deux points quelconques sur cette droite, et notons-les P et Q. Par exemple : P(-1 ; 1) et Q(2 ; 7). Pour aller de P à Q, on avance donc de 3 et on monte de6. Donc si on avance de 1, on monte de 2 : On retrouve le coefficient directeur. Nous avons ainsi la formule à connaître : Le coefficient directeur a est égal à : a= différence des ordonnées Δy noté aussi a= différencedes abscisses Δx

ou encore : a= yP – yQ yQ – yP ou a= xP – xQ xQ – xP

4- Application : (question type) Déterminer l'expression d'une fonction affine, ou encore, l'équation...
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