FONCTIONS AFFINES

I- DEFINITIONS a et b sont deux nombres donnés. La fonction f qui à tout réel x associe le nombre f x   ax  b est appelée fonction affine. Si b  0, on dit que f est linéaire.  f x   ax  Si a  0 , on dit que f est constante.  f x   k  Toute fonction linéaire est donc affine ! f : x  3 x est une fonction affine et linéaire a  3 et b  0  .

Reconnaître une fonction affine : (question type) a) f x   2x  2 3 2 x √2 2 2 f (x)= + = x+ √ . 3 3 3 3

f (x) s'écrit a× x+b avec a=

2 √ 2 donc f est une fonction affine. et b= 3 3

b) g x   x  1 2  x  1 2 g ( x)=x 2 −2 x+1−( x 2+2 x+1) = x 2+2 x+1−x 2−2 x−1 =−4 x g est non seulement affine avec a=−4 et b=0 , mais g est aussi linéaire. c) hx   3 x h( x)= √ 3× √ x . h n'est pas linéaire. Attention à ne pas confondre h avec la fonction x → √ 3 x qui, elle, est linéaire. x2  4x  4 d) k x   x 2 2 ( x – 2 ) ( x−2)(x−2) k ( x )= = =x−2 x−2 x−2 Mais attention : 2 n'a pas d'image par la fonction k ! k est définie sur IR\{2}, ou encore sur ]−∞ ; 2[∪]2 ;+∞[ k n'étant pas définie sur IR, k n'est pas une fonction affine.

II- REPRESENTATION GRAPHIQUE 1- Représenter une fonction affine. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation réduite y=ax+b . Si, de plus, la fonction est linéaire, alors cette droite passe par l'origine. a s'appelle le coefficient directeur de la droite, et b est l'ordonnée à l'origine (c'est l'image de 0). Exemple 1 : f est la fonction x → 2 x+3 . Sa représentation graphique est alors la droite d'équation y=2 x+3 . L'image de 0 est : f (0)=2×0+3=3 C'est l'ordonnée à l'origine. Ainsi, on place le point A de coordonnées (0 ; 3).

Méthode 1 : Tableau de valeurs +1 x f ( x) -3 -3 -2 -1

+1
-1 1

+1 A
0 b=3

+1
1 5

+1
2 7

+2 Méthode 2 : Méthode de l'escalier

+2

+2

+2

+2

Le coefficient directeur est 2. En partant de A, on avance à droite de 1 et on monte de 2 et on recommence.

Exemple