Mathématique financière

17099 mots 69 pages
hMath´matiques financi`res e e
Constantin Chilaresc

1
1.1

Rappels Math´matiques e
La fonction exponentielle

D´finition 1. La fonction exponentielle, f (x) = ax (en base a, a > 0, a = e 1), f : (−∞, +∞) → (0, +∞) a les propri´t´s suivantes: ee i. f (0) = a0 = 1. ii. f (x) est une fonction croissante si a > 1 et d´croissante si a ∈ (0, 1). e iii. ax ay = ax+y . iv. (ax )y = axy . v. ax bx = (ab)x , b > 0, b = 1. vi. vii. ax ay ax bx

= ax−y . = a x . b

viii. ax = ay si et seulement si x = y. ix. ax = bx pour tout x r´el si et seulement si a = b. e 1.1.1 Les puissances de e

Il faut ´tudier la suite de nombres e 1+ 1 1
1

,

1+

1 2

2

,

1+

1 3

3

,··· , 1 +

1 n

n

,···

1

Lorsque n tend vers l’infini, cette suite tend a se rapprocher du nombre ` e = 2.71828182... On note en fait: e = lim n→∞ 1 1+ n

n

.

Nous conseillons au lecteur sceptique de calculer par exemple: 1+ 1 10
10

,

1+

1 100

100

,

1+

1 1000

1000

.

Nous verrons que cette d´finition est utilis´e en math´matiques financi`res. e e e e Exemple 1. R´solvons quelques ´quations exponentielles. e e 53x = 54x−2 , 27x+1 = 9, 9x = 33x−1 . Solution. 53x = 54x−2 ⇔ 3x = 4x − 2 ⇒ x = 2. 27x+1 = 9 ⇔
2 2

33

9x = 33x−1

1 = 32 ⇔ 33(x+1) = 32 ⇔ 3(x + 1) = 2 ⇒ x = − . 3 1 2 ⇔ 32x = 33x−1 ⇔ 2x2 = 3x − 1 ⇒ x = 1, ou x = . 2 x+1 1.2

La fonction logarithmique

D´finition 2. La fonction logarithmique f (x) = loga x (en base a, a > e 0, a = 1) f : (0, +∞) → (−∞, +∞) a les propri´t´s suivantes: ee i. loga 1 = 0, loga a = 1. ii. f (x) est une fonction croissante si a > 1 et d´croissante si a ∈ (0, 1). e iii. loga x + loga y = loga xy. iv. loga x − loga y = loga x . y v. loga xn = n loga x. vi. loga ax = x. vii. aloga x = x. 2

viii. loga x = loga y si et seulement si x = y. ix. loga x = logb x si et seulement si a = b. Les logarithmes en base 10 sont appel´s logarithmes d´cimaux et sont not´s e e e log x et les

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