Mathématiques ECS

Pages: 22 (5474 mots) Publié le: 13 janvier 2015
Exo7

Polynômes
❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❉é❢✐♥✐t✐♦♥s
❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❆r✐t❤♠ét✐q✉❡ ❞❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s
❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❘❛❝✐♥❡ ❞✬✉♥ ♣♦❧②♥ô♠❡✱ ❢❛❝t♦r✐s❛t✐♦♥
❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❋r❛❝t✐♦♥s r❛t✐♦♥♥❡❧❧❡s
❊①❡r❝✐❝❡s
P♦❧②♥ô♠❡s

Motivation
Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez
déjà résoudre les équations de degré 2 : aX 2 + bX + c = 0. Savez-vous quela résolution des
équations de degré 3, aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a fait l’objet de luttes acharnées dans l’Italie du X V I e
siècle ? Un concours était organisé avec un prix pour chacune de trente équations de degré 3 à
résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout les trente
équations en une seule nuit ! Cette méthode que Tartaglia voulait gardersecrète sera quand
même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ».
Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des
entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n
admet n racinescomplexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle
est le quotient de deux polynômes.
Dans ce chapitre K désignera l’un des corps Q, R ou C.

1. Définitions
1.1. Définitions
Définition 1
Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme
P(X ) = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ,
avec n ∈ N et a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ K.L’ensemble des polynômes est noté K[X ].
– Les a i sont appelés les coefficients du polynôme.
– Si tous les coefficients a i sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0.
– On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que a i = 0 ; on le note deg P. Pour
le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞.
– Un polynôme de la forme P = a 0 avec a 0 ∈ K est appelé un polynômeconstant. Si
a 0 = 0, son degré est 0.

1

2

Exemple 1
– X 3 − 5X + 34 est un polynôme de degré 3.
– X n + 1 est un polynôme de degré n.
– 2 est un polynôme constant, de degré 0.

1.2. Opérations sur les polynômes
– Égalité. Soient P = a n X n + a n−1 X n−1 +· · ·+ a 1 X + a 0 et Q = b n X n + b n−1 X n−1 +· · ·+ b 1 X + b 0
deux polynômes à coefficients dans K.
P =Q

ssi

ai = b i pour tout i

et on dit que P et Q sont égaux.
– Addition. Soient P = a n X n + a n−1 X n−1 +· · ·+ a 1 X + a 0 et Q = b n X n + b n−1 X n−1 +· · ·+ b 1 X + b 0 .
On définit :
P + Q = (a n + b n )X n + (a n−1 + b n−1 )X n−1 + · · · + (a 1 + b 1 )X + (a 0 + b 0 )
– Multiplication. Soient P = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 1 X + a 0 et Q = b m X m + b m−1 X m−1 +
· · · + b 1 X + b 0. On définit
P × Q = c r X r + c r−1 X r−1 + · · · + c 1 X + c 0 avec r = n + m et c k =

a i b j pour k ∈ {0, . . . , r }.
i+ j=k

– Multiplication par un scalaire. Si λ ∈ K alors λ · P est le polynôme dont le i-ème coefficient
est λa i .
Exemple 2
– Soient P = aX 3 + bX 2 + cX + d et Q = α X 2 + β X + γ. Alors P + Q = aX 3 + (b + α)X 2 + (c +
β)X + (d + γ), P × Q = (aα)X 5 + (aβ +bα)X 4 + (aγ + bβ + cα)X 3 + (bγ + cβ + d α)X 2 + (cγ +
d β)X + d γ. Enfin P = Q si et seulement si a = 0, b = α, c = β et d = γ.
– La multiplication par un scalaire λ · P équivaut à multiplier le polynôme constant λ
par le polynôme P.
L’addition et la multiplication se comportent sans problème :
Proposition 1
Pour P,Q, R ∈ K[X ] alors
– 0 + P = P, P + Q = Q + P, (P + Q) + R = P + (Q + R) ;
–1 · P = P, P × Q = Q × P, (P × Q) × R = P × (Q × R) ;
– P × (Q + R) = P × Q + P × R.
Pour le degré il faut faire attention :

3

Proposition 2
Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K.
deg(P × Q) = deg P + degQ
deg(P + Q)

On note Rn [X ] = P ∈ R[X ] | deg P

max(deg P, degQ)

n . Si P,Q ∈ Rn [X ] alors P + Q ∈ Rn [X ].

1.3. Vocabulaire
Complétons les définitions...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Histoire ecs
  • Mathématique
  • Mathématiques
  • Mathematique
  • ~Mathématiques~
  • Mathématiques
  • Mathématiques
  • mathématiques

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !