EXERCICE 4 6 points
Après une étude de marché d’un produit, on a modélisé l’offre et la demande de ce produit en fonction de son prix unitaire, à l’aide de fonctions exponentielles.
L’offre est modélisée par la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 6] où : ( ) 10 x f x e 0,65
=
où x représente le prix unitaire en euros.
La demande est modélisée par la fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [1 ; 6] où : g x e− 0,35
( ) 600 x
= . où x représente le prix unitaire du produit en euros.
1. Étude graphique de la fonction f
Sur la figure donnée en ANNEXE 3, on a tracé la représentation graphique Cf de la fonction f . Par lecture graphique, donner :
a. le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 6] ;
b. le signe de la fonction dérivée f ′ de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 6] ;
c. le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [1 ; 6].
2. Étude de la fonction g
On rappelle la propriété : pour toute fonction dérivable u sur un intervalle donné, la fonction eu est dérivable sur ce même intervalle et ( )' ' u u e u e
= .
a. Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 6].
b. Construire le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 6].
3. Représentations graphiques
a. Compléter le tableau de valeurs, donné en ANNEXE 4, de la fonction g . On arrondira les valeurs à l’unité.
b. Construire la représentation graphique Cg de la fonction g sur la même figure que Cf .
4. Prix d’équilibre
On définit le prix d’équilibre comme étant le prix pour lequel l’offre et la demande sont égales.
a. Placer sur le graphique le prix correspondant au prix d’équilibre.
b. Donner une valeur approchée de ce prix, arrondie au dixième d’euro.
c. Retrouver le résultat précédent par le calcul. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centime