Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes

I - Fonction exponentielle népérienne
Théorème et définition
Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1
On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp.
Propriétés immédiates
La fonction exp est strictement positive sur R.
La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel.
La fonction exp est strictement croissante sur R.
Le nombre e. Notation xe
On désigne le réel exp(1) par la lettre e.
On convient de noter xe pour exp (x), pour tout x réel.
II - Fonction logarithme népérien
Théorème et définition
La fonction exp réalise une bijection R de sur ]0, + ∞[.
Sa bijection réciproque, fonction de ]0, + ∞[ dans , est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln.
Propriétés immédiates
La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[. ln 1 = 0 ; ln e = 1.
La fonction ln est strictement négative sur ]0, 1[ et strictement positive sur ]1, + ∞[.
III - Courbes représentatives. Dérivabilité de la fonction ln
Les courbes représentatives des fonctions ln et exp dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la première bissectrice. La fonction ln est dérivable dans ]0, + ∞[ et (ln)’ (x) = 1x pour x > 0
IV - Propriétés conjointes de la fonction exp et de la fonction ln
Réciprocité
Pour tout réel u et tout réel v strictement positif, exp u = v équivaut à u = ln v. eln(x)pour tout x de ]0 ; + ∞] ln(ex) = x pour tout x

Propriété fondamentale
Pour tous réels a et b, pour tous réels strictement positifs c et d :
• exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
• ln(cd) = ln c + ln d
Une exponentielle transforme une somme en produit.
Un logarithme transforme un produit en somme.

Conséquences de la propriété fondamentale
Pour tous réels a et b, pour tous réels strictement positifs c et d, pour tout n entier relatif : Exp(– b) = 1exp⁡(b) et ln( 1d ) = – ln d