Mathematiques

Pages: 5 (1181 mots) Publié le: 11 avril 2012
1/ Rappels
Définition  :
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0.
D’un point de vue pratique, 
cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi :
La fonction exponentielle, notée exp  :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
- pour toutx : exp’ (x) = exp (x)
- pour tout x : exp (x) > 0
- exp (0) = 1
ces résultats ont été vus en détail dans le premier module de traitant la fonction exponentielle.
Le nombre exp(1) étant noté e,
la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance : [pic]

Et grâce à cette notation, il devient simple de retenir ses propriétés algébriques, puisqu’elles sont les mêmesque celles d’une puissance :
[pic]
Quels que soient a et b réels :
[pic]
[pic] Il est également important de connaître une valeur approchée de
La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][
Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).
On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui àtout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x).
Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [pic][ et à valeurs dans R est appelée :
fonction logarithme népérien et notée ln.

[pic]
Tout nombre réel y strictement positif peut donc s’écrire sous forme exponentielle :
y = esp (x) avec x = ln y

Autrement dit :
Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire :  y = eln y

Il fautégalement connaître les deux propriétés qui permettent de résoudre équations et inéquations :
* Quels que soient a et b réels : ea = eb ⇔ a = b
* Quels que soient a et b réels :  ea < eb ⇔ a < b

2 / Etude de la fonction exponentielle
Nous savons que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Pour dresser son tableau de variations complet, il ne nous reste donc qu’à trouver seslimites aux bornes.
Montrons dans un premier temps la propriété suivante :
Pour tout réel x : ex > x
Ce qui signifie graphiquement que la courbe de la fonction exponentielle est toujours au dessus de la première bissectrice.

Démonstration 
Pour x < 0, la fonction exponentielle étant strictement positive, on a de façon évidente : ex> x

Soit la fonction h définie sur [ 0 ; [pic][ par : h(x) = ex - x
Par addition, h est dérivable sur  [ 0 ; [pic][ et : h’(x) = ex - 1
Or, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : x > 0 ⇒ ex > e0
Soit : ex > 1 La fonction h est donc croissante sur  [ 0 ; [pic][
D’où x > 0 ⇒ h(x) > h(0) Or h(0) = e0 - 0 = 1
Donc, pour x > 0 : ex - x > 1 , soit : ex - x > 0.Par conséquent : si  x > 0 alors : ex > 0

Pour tout réelx : ex > x 
Remarque :
pour appliquer le théorème de comparaison, avoir cette inégalité seulement pour les réels positifs suffisait.

Or [pic] 

Donc, d’après les théorèmes de comparaison : [pic]
Pour trouver [pic] posons le changement de variable : X = -x
On a alors : x = -X d’où : [pic]
[pic] 
D’où : [pic] 
Donc : [pic]


D’où le tableau complet de variations de la fonctionexponentielle :
[pic] 
avec 0 et 1 comme valeurs de référence ajoutées

3/ Tracé de la fonction exponentielle
À l’aide des nombres dérivées 
en nos deux valeurs de référence,
nous pouvons tracer les tangentes à la courbe en 0 et 1.
exp’(0) = e0 = 1
 
exp’(1) = e1 = e
Donc la tangente au point d’abscisse 1 
a pour équation : y = ex + b

Le point de tangencea pour coordonnées :
A ( 1 ; e ) 
D’où : e = e x 1 + b Donc b = 0.

La tangente en 1 passe donc par l’origine.

 
 Comme [pic] , l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en [pic]
Et la fonction exponentielle étant strictement positive, sa courbe est toujours au dessus de l’axe.
4/ Fonction exponentielle au voisinage de 0
Intéressons-nous au nombre dérivé de...
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