COURS DE MATHEMATIQUES
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Les ´quations du second degr´ e e
R´solution
e
Ce cours porte exclusivement sur la r´solution des ´quations du second e e degr´. e

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L’id´e g´n´rale e e e

Une ´quation du second degr´ a une inconnue x est une ´quation de la e e` e forme ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R. u 2
2.1

La th´orie e Les racines

Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u c ∈ R. Les racines d’une ´quation du second degr´ sont les solutions x1 ∈ R e e et x2 ∈ R de cette ´quation. e 2.2

Le discriminant

Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u 2 c ∈ R. Le discriminant de l’´quation est le r´el ∆ = b − 4ac. e e
1

2.3

La r´solution e Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u c ∈ R. La r´solution de cette ´quation d´pend du signe de son discriminant e e e ∆:
– lorsque ∆ < 0, l’´quation n’a aucune racine ; e – lorsque ∆ = 0, l’´quation a une unique racine (dite double) e b
− ;
2a
– lorsque ∆ > 0, l’´quation a deux racines e √
√
−b + ∆
−b − ∆ et x2 =
.
x1 =
2a
2a

3

Attention !

Il ne faut pas appliquer directement les formules de r´solution avant d’obe server l’´quation du second degr´ consid´r´e car son expression peut parfois e e ee ˆtre simplifi´e, ce qui all`ge consid´rablement les calculs. e e e e

4

Par cœur
Doivent ˆtre connues par cœur les formules suivantes : e – le discriminant ∆ = b2 − 4ac ; b – la racine double (lorsque ∆ = 0) − ;
2a
√
√
−b + ∆
−b − ∆ et x2 =
.
– les deux racines (lorsque ∆ > 0) x1 =
2a
2a

2

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Exercices pratiques

5.1

Exercice 1

R´soudre l’´quation du second degr´ 4x2 + 2x + 1 = 0. e e e Avant de r´soudre l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles simplie e e fications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression de