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Les ´quations du second degr´ e e
Factorisation
Ce cours porte exclusivement sur la notion de factorisation relative aux ´quations du second degr´. e e

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L’id´e g´n´rale e e e

Une ´quation du second degr´ a une inconnue x est une ´quation de la e e` e forme ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R. u

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2.1

La th´orie e
La factorisation

Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u c ∈ R. Cette ´quation est factorisable lorsque son discriminant v´rifie : ∆ ≥ 0. Soient e e alors x1 et x2 les racines de l’´quation. La factorisation de l’´quation s’´crit e e e (x − x1 )(x − x2 ) = 0.

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Attention !

Il est inutile d’entreprendre la factorisation d’une ´quation du second e degr´ avant de v´rifier que cette ´quation a au moins une racine r´elle. e e e e Pour cette raison, il s’av`re essentiel de calculer son discriminant ∆ pour e en connaˆ le signe. ıtre

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4.1

Exercices pratiques
Exercice 1
Factoriser l’´quation du second degr´ (7x − 2)2 = 4. e e

Avant de factoriser l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles sime e plifications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression ne peut pas a priori ˆtre e ee e simplifi´e. e L’observation de cette expression permet de reconnaˆ une identit´ remarıtre e quable, en effet : (7x − 2)2 = 4 (7x − 2)2 − 4 = 0 (7x − 2)2 − 22 = 0 On applique alors la formule correspondante, pour obtenir : (7x − 2 + 2)(7x − 2 − 2) = 0 7x(7x − 4) = 0 x(7x − 4) = 0 La factorisation de l’´quation du second degr´ (7x − 2)2 = 4 s’´crit donc e e e x(7x − 4) = 0.

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5.1

Exercices pratiques
Exercice 2
Factoriser l’´quation du second degr´ (5 − x)2 − (2x − 4)2 = 0. e e

Avant de factoriser l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles sime e plifications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression ne peut pas a priori e ee ˆtre simplifi´e. L’observation de cette expression permet de