Maths

Pages: 9 (2055 mots) Publié le: 6 octobre 2012
Prof. Mr : RAFFAA ABDALLAH Discipline : Maths
89, Avenue 2 Mars, Tél : 022-80-90-50/51

:

Combinatoire-Dénombrement
Card  A  B = Card A+ Card B  Card  A  B Card  A  B= Card A Card B

Soit E un ensemble de n éléments : Nombre d’arrangements p A n  n  n  1 ...  n  p  1 . de p éléments de E : Nombre de permutations de E :
n!  1  2  3  ...  n ; 0!  1 .

Nombre desous-ensembles de p éléments A p n  n  1 ...  n  p  1 n! p Cn  n  = p! p! p ! n  p !

de

p E : C n  C n p ; n

p 1 p p C n  1  C n  C n 1

n C 0 + C1 + C 2+ ...+ C n 1  C n  2n n n n n

Probabilités
Si A et B sont incompatibles :
P  A  B   alors P  A  B= P  A + P  B

Dans le cas général :
P  A  B= P  A + P  B  P  A  B
n

P A  1  P A ; P     1 ; P     0
Card A . Card 

 

Si A1 ,…, An forment une partition de A, P  A    P  A i 
i 1

Dans le cas équiprobable : P  A  

Probabilité conditionnelle de A sachant que B est p ( A  B) réalisé : pB  A   p( B )

Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn forment une partition de  alors
p  A  =p  A  B1  +p  A  B 2 +...+p  A  B n 

Variable aléatoire : somme des valeurs de la loi de probabilité = 1
n

Espérance mathématique : E  x    pi xi
i 1

Fonction de répartition : F x   P  X  x 
2

Variance : V  x    pi  xi  E  x     pi xi2   E  x  
i 1 i 1

n

2

n

Ecart-type   X   V  X 

k Bernoulli : X= nombre de réalisations de A sur n épreuves, P(A)=p,alors : P( X  k )  Cn p k (1  p)n  k

Algèbre : Nombres complexes
Forme : algébrique z  x  iy M(z) Q(y) trigonométrique z    cos   i sin     ei ,   0
    OM  xu  yv
OM    z  x 2  y 2

Formules d’Euler
cos   sin   1 i  e  e i  2 1 i  i e  e  2i


 v  u
OP  x  Re  z    cos 


P(x)

OP  y  Im  z    sin 
t an   y y   arct an [ ] x x

Opérations algébriques

z  z    x  iy    x   iy    x  x    i  y  y  

1

z  z    x  iy    x   iy    xx   yy    i  xy  x y 
Conjugué Inverse :
z  x  iy   ei ; z  x  iy   ei ; z  z   z  z  ;
zz   z  z 
2

y 1 z z x 1   2  2 i 2  e i 2 z zz x y x  y2  z

x

1 1 z z ; y  z z ;2 2i

zz  x 2  y 2  z

Module et argument d’un produit, d’un quotient
z  z     ei     ei     ei  


zz   z  z  ; arg( z. z ')  arg( z)  arg( z ')[2 ]

z  ei    ei   i  z   e 

z z z  ; arg( )  arg( z)  arg( z ')[2 ] z z z'

z n    ei    n ein , n  
    c a  Angle de deux vecteurs : ( AB, AC )  arg   b a

n

Distance de deux points : AB  b  a

Similitude directe : S(( ), k ,  ) : z  z '/ z '   kei ( z   ) ; avec =0 : homothétie, avec k=1 : rotation
z    Im( z )  0  arg( z )  0[ ]

Inégalité triangulaire : z  z   z  z   z  z  Produit scalaire : p  z. z ' z . z '

z  i  Re( z )  0  arg( z ) 

 [ ] 2

Algèbre : Identités remarquables(valables sur  et donc sur  .)
 a  b
2

 a  2 ab  b2 ;  a  b  a2  2 ab  b2

2

2

 a  b
 a  b

3

 a3  3 a2 b  3 ab2  b3
 a3  3 a2 b  3 ab2  b3

a2  b2   a  b a  b ; a2  b2   a  ib a  ib
1 k Binôme de Newton :  a  b  an  C n an 1b  ...  C n an  k bk  ...  bn n

3

Algèbre : Trigonométrie
OP  cos OQ  sin 
AT  t an Angles associés :
  cos      sin  2     sin      cos  2 

Q  O + P

T A

cos 2   sin 2   1

sin   ,    k t an   cos  2 1  t an 2   1 cos2 

Equations : sinx=sina : x  a[2 ] ou  - a[2 ] cosx=cosb : x  b[2 ] ou - b[2 ] tanx=tanc : x  c  ] [
ei  a  b  eia eib

sin(ax), cos de période 2/a tan(ax) de période /a

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