Algèbre linéaire II

Z  ZZ  Z    Z Z  Z Z

Exo7

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile

Exercice 1 *** Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p.
Correction
[005598]

Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent.
Correction
[005599]

Exercice 3 *** Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient f et g deux projecteurs distincts et non nuls de E tels qu’il existe deux complexes a et b tels que : f g − g f = a f + bg. 1. Montrer que si a = 0 et a = 1 on a : Im( f ) ⊂ Im(g). En déduire que g f = f puis que a + b = 0 puis que a = −1. 2. Montrer que si a = 0 et a = −1, on a Ker(g) ⊂ Ker( f ). Que peut-on en déduire ? 3. Montrer que si f et g sont deux projecteurs qui ne commutent pas et vérifient de plus f g − g f = a f + bg alors (a, b) est élément de {(−1, 1), (1, −1)}. Caractériser alors chacun de ces cas.
Correction
[005600]

Exercice 4 *** Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application linéaire de E vers F. 1. Montrer que [(∀g ∈ L (F, E), f ◦ g ◦ f = 0 ⇒ g = 0) ⇒ f bijective]. 2. On pose dimE = p, dimF = n et rg f = r. Calculer la dimension de {g ∈ L (F, E)/ f ◦ g ◦ f = 0}.
Correction
[005601]

Exercice 5 **I Soit E = Kn [X]. u est l’endomorphisme de E défini par : ∀P ∈ E, u(P) = P(X + 1) − P. 1. Déterminer Keru et Imu. 0 1 0 ...  . .. .. ..  . . . .  .  .. 2. Déterminer explicitement une base dans laquelle la matrice de u est  .   . ..  . . . 0 ... ... 1   0 .  .  .   0 .   1  0

Correction

[005602]

Exercice 6 ***  1 cos(a) cos(2a) cos(3a)  cos(a) cos(2a) cos(3a) cos(4a)   Rang de la