Chapitre 4

Courbes paramétrées.

Jusqu'à présent, les courbes qui ont été étudiées correspondaient à des fonctions dénies sur I ou une partie de I et à valeurs dans I , et les graphes correspondant avaient R R R la particularité de ne pas admettre de points doubles ni de revenir sur eux-mêmes: A une valeur donnée de x correspond au plus une valeur de y . Or, la plupart des courbes ou des trajectoires rencontrées dans plusieurs situations peuvent avoir un comportement quelconque. Il est par conséquent nécessaire d'introduire de nouveaux types de courbes qui répondent à ce genre de situation.

I. Introduction.

1. Fonctions vectorielles. une partie A ⊂ I et à valeurs dans l'espace vectoriel I 2 . R R
F : A ⊂ I −→ I 2 R R t −→ F (t) = (x(t), y(t)). A est l'ensemble de dénition de la fonction F .

Dénition Une fonction vectorielle à valeurs dans I 2 est une application dénie sur R

Sur I 2 , on choisit la norme euclidienne R
||(x, y)|| = x2 + y 2 ,

et on dira que la suite (un = (xn , yn ))n tend vers (α, β) si ||(xn − α, yn − β)|| tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. Cela équivaut à dire que les deux suites (xn )n et (yn )n tendent respectivement vers α et vers β. Etudier la courbe paramétrée dénie par F signie tracer dans le plan I 2 l'image de A R par la fonction F c'est à dire l'ensemble des points M (t) = (x(t), y(t)) lorsque t parcourt A. La fonction F sera supposée posséder certaines propriétés comme la continuité et la dérivabilité en tant que fonction à valeurs dans I 2 . Nous devons donc préciser ces notions. R

dans A. On dit que F est continue en t0 si F (t) tend vers F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . 1

Dénitions Soit t0 ∈ A, on suppose que t0 appartient à un intervalle ouvert contenu

On dit que F est dérivable en t0 si le rapport
F (t) − F (t0 ) tend vers une limite nie notée F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . t − t0

Remarquons que lorsque F est dérivable en t0 , la limite F (t0 ) est en fait un vecteur de I 2 . R On a