2ème SM
Exercice 1

Suites numériques

H . Bouayoun

u 0 = 2  soit (u n ) la suite définie par  1 u n +1 = u n + arc cos(u ) n  1.montrer que (∀n ∈ IN ) : u n > 1 2.étudier le sens de variation de (u n ) 3. montrer que (∀n ∈ IN ) : u n > n Exercice 2 soit (u n ) n ≥1 la suite définie par

π
3

+ 2 . en déduire que la suite (un ) n’est pas majorée. n ) 2k 1.montrer que la suite (u n ) est décroissante et minorée et déduire qu’elle est convergente . sin(α ) 2.montrer que (∀n ≥ 1) : u n = et en déduire la limite de la suite (u n ) . α n 2 sin( n ) 2 Exercice 3  u1 = 1  soit (u n ) n ≥1 la suite définie par  n +un u n +1 = n 2  1.montrer que (∀n ≥ 1) : u n ≤ 2 . en déduire que (u n ) est convergente et calculer sa limite l . 1 n +1 2.montrer que (∀n ≥ 2) : ≤ un ≤ . En déduire lim(nu n ) (n − 1) 2 n −1 k =1

u n = ∏ cos(

α

3.on veut étudier la monotonie de la suite (u n ) . a) montrer que la suite (v n ) n ≥ 2 définie par v n = b) montrer que pour tout n ≥ 2 , on a u n ≥ v n . c) en déduire que la suite (u n ) n ≥ 2 est décroissante . Exercice 4
 u1 = 2  soit (u n ) n ≥1 la suite définie par  (n + 2)u n + 2(n 2 + n − 1) u n +1 =  (n + 1) 2  1.montrer que la suite (u n ) est décroissante . 2.montrer que (u n ) est convergente et calculer sa limite l . 3.calculer u n +1 − l en fonction de u n − l . en déduire u n en fonction de n .

n est décroissante . n −1
2

Exercice 5

u 0 = 2  soit (u n ) la suite définie par  1 3 u n +1 = 2 u n + n + 1  1.montrer que (∀n ∈ IN ) : u n > 1 2.étudier le sens de variation de (u n )
3.montrer que (un ) est convergente et donner sa limite Exercice 6 θ θ  π Soit θ ∈  0,  , pour tout n ∈ IN on pose u n = 2n sin( n ) et u n = 2n tan( n ) 2 2  2

Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes et déterminer leur limite commune .

Exercice 7 Soient aet b deux nombres réels tels que 0 < a < b .on considère les deus suites (an ) n ≥0 et
 a0 = a , b 0 = b  (b n ) n ≥0