LA METHODE D’EULER APPLIQUEE A LA RECHERCHE D’APPROXIMATION DE COURBES INTEGRALES

L’objectif de l’activité est de mettre en œuvre, avec un tableur, la méthode d’Euler afin d’obtenir des approximations de la courbe représentative d’une fonction F dérivable sur [a,b] connaissant : sa fonction dérivée f l’image de a, F(a)

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O; ; ).

La méthode d’Euler conduit à la création d’une suite de points du plan Mn (xn,yn).
Rappeler les premiers pas de l’algorithme le pas de discrétisation étant noté h.

Exemple 1 : Approximation sur [0 ;3] de la courbe représentative de la fonction F satisfaisant à : pour tout x de [0;3], F’(x) = et F(0) = 0

1) On choisit un pas de 0,5 (h = 0,5)
a) Comment compléter, dans le tableau 1 , les cellules B10 et D10 ?
b) Quelle formule « à recopier vers le bas » proposez-vous pour la cellule B11 ? (la mettre dans le tableau 1) Jusqu’à quelle ligne doit-on la recopier pour couvrir l’intervalle [0 ;3] ?
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c) Quelles formules « à recopier vers le bas » proposez-vous pour les cases C10 puis D11 ? (les mettre dans le tableau 1)

Tableau 1

d) Ouvrir le fichier Excel élève.xls (feuille « h=0,5 ») et compléter la feuille de calcul. Observer l’approximation obtenue.

2) On se propose d’analyser l’influence du pas h.
a) Compléter le tableau 2 en indiquant les modifications à apporter à cette feuille de calcul.
( on se limitera à h ³ 0,01)
Jusqu’à quelle ligne doit-on recopier les formules ?
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Tableau 2

b) Ouvrir la feuille « h variable » et compléter la feuille de calcul. (l’approximation pour h = 0,5 est déjà donnée)
c) Tester la feuille de calcul pour h = 0,1 puis h = 0,05 et h = 0,01.
d) Dans la feuille « synthèse », « coller » (dans la celluleD3) le graphique obtenu pour h = 0,01, lui donner un titre.
e) A l’aide des approximations de la courbe de