Maths, vecteurs
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Equations cartésiennes d’une droiteI) Vecteur directeur d’une droite :
1) Définition
Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la droite (d). qui possède
Exemple 1 :
Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs.
Remarque : Soit colinéaire au vecteur
un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et est aussi vecteur directeur de cette droite.
Exemple 2 :
Remarques :
• Deux points distincts quelconques de la droite (d) définissent un vecteur directeur de cette droite.
• La donnée d’un point A et d’un vecteur
non nul définissent une unique droite (d).
• Deux droites (d) et (d’) sont parallèles si tout vecteur directeur de l’une est aussi vecteur directeur de l’autre.
II) Equations cartésiennes d’une droite
1) Propriété
Toute droite (d) a une équation de la forme avec ( ; ) (0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est
Une droite
(- ; )
Remarque :
En effet, si non nul,
(d) admet une infinité d’équations cartésiennes est une équation cartésienne de (d), alors pour tout réel est une autre équation de la même droite.
2) Propriété réciproque
L’ensemble des points M ( ) vérifiant l’équation : ( ; ) (0 ; 0) est une droite de vecteur directeur ( - ; ) avec
Démonstration :
Soit (d) une droite, A( Soit M ( ; , un point de (d) et ( ) un vecteur directeur de (d).
un point du plan.
« M appartient à (d) » équivaut à : « « ( ( ; )( ) et ( ) sont colinéaires », qui équivaut à : qui équivaut à :
) =0 =0
Posons
;
et
. et , vecteur directeur de (d), a pour
Cette dernière équation s’ écrit coordonnées ( ; ).
Si
0, alors
0,
équivaut à :
. Attention l’ensemble des
points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Si
0, alors
0,
équivaut à :
. Attention l’ensemble des
points M cherché, est donc une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
3) Exemples
Exemple 1 :