´ ` ´ ` CONCOURS MINES-PONTS 2000, MATHEMATIQUES, PREMIERE EPREUVE, FILIERE PC. (Dur´ e de l’´ preuve : 3 heures) e e Roger Dallard, Lyc´ e Pasteur (Neuilly) e   1 x1 x1 2 · · · x1n−1 .  . . . . .  . . . . 1. D´ finition du r´ el ρ : e e V (X) =  .  . . . . .  . . . 2 n−1 1 x n xn · · · x n Quand on remplace X par λX, la deuxi` me colonne est multipli´ e par λ, la troisi` me par λ 2 etc.. Donc : e e e a. ν(λX) = λ.λ2. . . . .λn−1ν(X) = λ En particulier si X = ||X||.Y : ν(X) = ||X|| b. n(n−1) 2 ν(Y n(n−1) 2 ν(X).

).

ν(X) est une fonction polynomiale des coordonn´ es de X sur la base canonique de C n donc e ν est continue de En dans C. Par composition par la fonction module, qui est continue de C dans R, l’application |ν| est continue de E n dans R. La sph` re e unit´ S etant un compact de En, e ´ L’application X → |ν(X)| admet un maximum ρ sur S, atteint pour au moins un vecteur W .

c. i.

Soit X ∈ En. On peut toujours trouver Y tel que ||Y || = 1 et X = ||X||.Y : si X = 0 on prend Y quelconque de norme 1 ; sinon on X prend Y = . ||X|| On a donc |ν(X)| = ||X|| n(n−1) 2 |ν(Y )|

et |ν(Y )| ≤ ρ puisque Y ∈ S. Donc n(n−1) 2 .

∀X ∈ En , |ν(X)| ≤ ρ||X|| ii. On a donc : ρ = |ν(X)| = ||X|| n(n−1) 2 |ν(W )|

En particulier , si X ∈ S et est tel que |ν(X)| = ρ (un tel X existe d’apr` s b.), soit W de norme 1 tel que X = ||X||W . e ≤ |ν(W )| ≤ ρ, qui implique |ν(W )| = ρ : Il existe au moins un vecteur unitaire W de En tel que |ν(W )| = ρ.

2. Cas n = 2 : Si X =

x1 est un vecteur de E2, X est sur la sph` re unit´ S si et seulement si l’une de ses composantes a un e e x2 module egal a 1 et l’autre a un module inf´ rieur ou egal a 1. ´ ` e ´ ` 1 x1 = x2 − x1 et |ν(X)| = |x2 − x1 | ≤ |x2| + |x1| ≤ 2. On a alors ν(X) = 1 x2 1 donc : La valeur 2 est atteinte, par exemple pour X = −1 ρ = 2.

Si, pour X ∈ S, on a 2 = |ν(X)| = |x2 − x1| ≤ |x2| + |x1| ≤ 2, on doit avoir |x1| + |x2| = 2. Compte tenu de |x1| ≤ 1 et |x2| ≤ 2, cela n´ cessite |x1| =