PRIMITIVES.
1. Définition de primitives et conséquences.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien :

! x " !,

F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) .

Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive sur un intervalle I alors elle en admet une infinité. Ce sont toutes les fonctions du type F + c où c est une constante réelle. Démonstration : Soient F et G deux primitives de la fonction f sur I. Alors : ! x " I, (G # F)'(x) = G '(x) # F '(x) = f (x) # f (x) = 0 . I étant un intervalle G – F est une fonction constante. Il existe donc un réel c tel que G – F = c. D’où le résultat G = F + c. Remarque : il suffit donc de connaître une primitive F de f pour toutes les connaître. On dit parfois que F est unique à une constante additive près. Ce théorème présuppose l’existence d’une primitive. Interprétation graphique : Les représentations graphiques CF et CG se

! correspondent par une translation de vecteur c j .

Théorème : Si f est une fonction continue sur un intervalle I alors f admet des primitives sur I. Démonstration : ce théorème est admis. Remarque : ce théorème donne une condition nécessaire mais non suffisante à l’existence de primitives. En d’autres termes toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I mais il existe des fonctions non continues qui en admettent aussi. Remarque : l’interprétation graphique ci-dessus nous amène à nous demander si la courbe représentative d’une des primitives passe par un point M(x0 ; y0) donné avec x0 appertenant à I. En d’autres termes,