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Ts CORRECTION DS 1 I) f ( x ) – f ( 2 ) ( 2 – x ) 4 – x2 - 0 f(x)–f(2) • = = - 4 – x2 donc lim = lim - 4 – x2 = 0 donc x–2 x→2 x→2 x–2 x–2 la fonction est dérivable en 2 et la courbe admet au point d’abscisse 2 une tangente horizontale car f ’ ( 2)=0. • En x = 1 la courbe admet un point anguleux ( il y a donc 2 demi tangentes de coefficient directeur différent ) la fonction n’est pas dérivable en 1 . II ) 1°f ( 0 ) = 2 ordonnée du point de la courbe d’abscisse 0 de même f ( 2 ) = - 2 f ’ ( 0 ) = 0 c’est le coefficient directeur de l a tangente à la courbe au point d’abscisse 0 ( tangente horizontale ) – 3 –0 f ’ ( 1 ) = - 3 ( car ) 2–1 f’(2)=0 2° f ° f ( 0 ) = f ( f ( 0 ) ) = f (2 ) = -2 (f ° f )’ ( 0 ) = f ’ ( f ( 0 ) ) × f ’ ( 0 ) =f ’ ( 2 ) × 0 = 0 III ) 1° f ( x ) = - 2x4 – x3 + 6x2 = - 8x3 – 3x2 + 12 x = x ( - 8x2 – 3x + 12 ) On cherche le signe de - 8x2 – 3x + 12 ∆ = 393 donc deux solutions à l’équation x1 = 393 - 16 Et le signe est négatif à l’extérieur des racines x2
3-
393 et x2 = -16
3+
-∞
x2
0
x1 0 0
+∞ + -
- 8x – 3x + 12 - 0 + + x 0 + f’ (x) + 0 0 + La fonction est donc strictement croissante sur ] -∞ ; x2 [ ∪ ] 0 ; x1 [ et strictement décroissante sur ] x2 ; 0 [ ∪ ] x1 ; + ∞ [ x-2 1 × ( x – 1)2 – 2( x – 1 ) ( x – 2 ) x – 1 – 2x + 4 -x+3 2° g ( x ) = g’ ( x ) = = = 2 (x–1) (x–1)4 (x–1)3 ( x – 1 )3 -x+3 qui a le même signe que II + 0 x–1 1 3 donc g est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 1 [ ∪ ] 3 ; + ∞ [ et strictement croissante sur ] 1 ; 3 [ 3° h ( x ) = cos2 ( x ) a- D = R donc symétrique par rapport à 0 et h ( - x )= cos2 ( - x ) = cos2 ( x ) = h ( x ) donc h est paire h’ ( x ) = 2 cos ( x ) × ( - sin ( x ) ) = - 2 sinx cos x x π 0 π 2 Sinx 0 + + 0 Cos x + 0 h’ ( x ) 0 0 + 0
π π [ et strictement croissante sur ] ; π [ 2 2 c- h étant paire on déduit la courbe sur ] - π ; 0 [ en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées . IV ) 1° g ( x ) = f ( x2 ) g est dérivable par composée de deux fonctions dérivables