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Problèmes d'optimisation

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Chapitre 1 - Fonctions | Travaux dirigés Problèmes d'optimisation | 2nde11 |

La boîte ¨ Le problème On fabrique une boîte à partir d'une feuille de carton dont on coupe et relève les coins. Le carton est un carré de 10 cm de côté. Les encoches sont 4 carrés identiques découpés dans les 4 coins du carton. Expliquer comment varient les dimensions de cette boite lorsque la largeur de l'encoche s'accroît. À votre avis, pour quelle largeur d'encoche le volume de la boîte est-il maximum ? | | |

¨ Étude mathématique A/ Modélisation On note xla largeur de l'encoche exprimée en cm et f(x) le volume du boîte exprimé en cm3. 1/ Justifier que f(x) = x(10 – 2x)² sur un ensemble de définition Dfque l'on précisera. 2/ Représenter avec précision cette fonction. | B/ Étude graphique 1/ Donner un arrondi d'ordre 2 de la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte est maximum et établir le tableau de variation de cette fonction.

C/ Question complémentaire 1/ Est-il possible de construire une boîte de volume 64 cm3 ? Si oui, pour quelle largeur d'encoche ? 2/ Quelle équation faudrait-il résoudre pour répondre avec exactitude à cette dernière question ?

La figure qui pivote ¨ Le problème On considère la figure ci-contre formée de deux carrés. Le carré ABCDest fixe de côté 7 cm. Le carré MNPQvarie. Il est tel que AM= BN= CP= DQ Pour quelle position du point Ml'aire du carré MNPQest-elle minimum ? | | ¨ Étude mathématique
A/ Découverte
Faire la figure pour AM = 1. Calculer dans ce cas, de deux façons différentes, l'aire du carré MNPQ. B/ Modélisation 1/ On note AM = BN = CP = DQ = x. Quelles sont les valeurs que peut prendre x ? Que se passe-t-il pour x = 0 ? Et pour x = 7 ? 2/ L'aire du carré MNPQ est une fonction de x notée f, donner l'ensemble de définition de la fonction f puis démontrer que f(x) = 2x² – 14x + 49. 3/ Calculer f(0), f(7), f(1), et f(6). Pouvait-on prévoir ces

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