Chp. 1. Problèmes d’optimisation dans Rn
1.1 Formulation générale
Définition 1 (Extrema contraints) On dit qu’un point x?est un minimum (resp. un maximum) d’une fonction f de n variables réelles sur une partie A de IRn , ou, de manière équivalente, que x? minimise f (resp. maximise f) sur A si f est partout définie sur A , et x? est un point de A vérifiant :
• ∀x ∈ A f(x?) ≤ f(x) (resp. ≥)
On appelle extremum de f sur A un minimum ou un maximum de f sur A .
Exemple 1.1
• (1, 0) maximise, …afficher plus de contenu…

un maximum) d’une fonction f de n variables réelles sur une partie A de IRn par l’écriture :
• Min f(x) x ∈ A
(resp. Max f(x) x ∈ A
)
qui se lit : (( minimiser f sur A )) (resp. (( maximiser f sur A ))). On dit que f est le critère et A l’ensemble admissible de ce problème.
Selon le cas, on parle de problème de minimisation , de maximisation , ou plus simplement, en regroupant les deux types de problèmes sous une même appellation générique, de problème d’optimisation .
1.2 Exemples
Exemple 1.2 (Le problème de Toricelli) Dans le plan Euclidien IR 2, trouver un point min- imisant la somme de ses distances à trois points a, b, c donnés …afficher plus de contenu…

Les questions qui se posent sont alors :
• Le critère admet-il des extrema locaux ?
• Si oui, comment les calculer ?
• En supposant qu’on ait trouvé, parmi les minima locaux admissibles, lorsqu’il en existe, celui ou ceux où la valeur du critère est minimale, ce ou ces points sont-ils solutions du problème ?
Cette dernière question est souvent la plus difficile :
Exemple 1.5 Le seul minimum local du critère : f =
2
x
+
2 y + x y du problème de la bôıte (5) sur l’ouvert : Ω =