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Pages: 10 (2449 mots) Publié le: 3 mars 2014
Nombres complexes

4ème année
Maths

Année scolaire 09 - 10
A. LAATAOUI

Sessions antérieures

Exercice N°1 (SP.2001) ©
r r
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé O; u; v on considère les points A et B

(

)

d’affixes respectives a et 1 où a est un nombre complexe donné différent de 1.
Soit f l’application de P \ {B} dans P qui’ à tout point M d’affixe z,associe le point M’ d’affixe z’ telle
z-a
que : z ' =
.
z-1
1. Montrer que les affixes des points invariants par f sont les solutions de l’équation E : z 2 - 2 z + a = 0 .
p 3p
2. a) On suppose que a=1+e 2iq où q Î ù , é . Résoudre l’équation E.
ú2 2 ê
û
ë
b) Mettre sous forme trigonométrique chacune des solutions de E.
3. Dans cette question on suppose que a = - 1.
Soit M un point de P \{B} d’affixe z et M’ le point z’ = f(z).
L
L
r uuu
r
r uuur
a) Montrer que ( u , BM )+ ( u , BM ') º 0 ( 2p ) .
uuu uuur
r
En déduire que la demi – droite [BA) est une bissectrice de l’angle BM , BM ' .

(

)

b) Montrer que z’ est imaginaire pur si et seulement si z = 1 .
c) En déduire la construction du point M’image d’un point M du cercle trigonométrique privé du point
B.Exercice N°2 (SC.2002) ©
rr
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O, i, j , on considère les points A et B

(

)

d’affixes respectives 1 et –1 et on désigne par P’ le plan P privé du point A.
Soit f l’application de P’ dans P qui à tout point M de P’ d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel
que : z ' =

(

).

z z -1
z -1

1. a) Soit C le pointd’affixe i. Déterminer le point f (C ) .
b) Soit z le cercle de centre O et de rayon 1. Montrer que pour tout point M de
z \ { A} , on a : f ( M ) = B .
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .
3. Soit M un point quelconque du plan privé de la droite (AB) et du cercle z .
On désigne par M 1 l’image de M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et par M’ l’image de M par
f.
uuuuuu
ur
uuuuu
r
u
a) On désigne par z uuuuuuur' et z uuuuuur les affixes respectifs des vecteurs M 1 M ' et AM 1 .
MM
AM
1

Montrer que

u
z uuuuuuur'
MM
1

=

1

z-z

uuuuuu
u
r
uuuuu
r
. En déduire que les vecteurs M 1 M ' et AM 1 sont orthogonaux.

z -1
uuuuu
r
uuuuuu
u
r
b) Montrer que les vecteurs M 1 M ' et BM ' sont orthogonaux.
c) En déduire une constructiongéométrique du point M’.

1

u
z uuuuur
AM1

2

Complexes. Sessions antérieures. 4ème Maths 09 – 10.

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Exercice N°3 (SP.2003)
Dans l’ensemble £ des nombres complexes on considère l’équation
Ed : z 3 + ( 3 - d 2 ) z + 2i (1 + d 2 ) = 0 .
Où d est un nombre complexe donné de module 2.
1. a) Vérifier que 2i est une solution de Ed .b) Résoudre alors l’équation Ed .

r r
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O; u; v on considère les points A, B,

(

)

M, N d’affixes respectives 2i ; -i ; -i + d ; -i – d.
a)
b)
c)
d)

Calculer MN et déterminer le milieu de [MN].
En déduire que lorsque d varie, les points M et N appartiennent à un cercle fixe que l’on précisera.
Dans le cas où AMN estun triangle, montrer que O est le centre de gravité du triangle AMN.
En déduire les valeurs de d pour lesquelles le triangle AMN est isocèle de sommet principal A.

Exercice N°4 (SC.2003)
On considère dans £ l’équation (E) suivante : ( E ) : z 3 - 2

(

)

2

1. a) Montrer (E) admet une solution
imaginaire pure que l’on déterminera.
b) Résoudre (E) dans £ .
c) Donner la formeexponentielle de chacune des solutions de (E).
2. Soit q un réel et Eq l’équation :

(E ) : z
q

3

- 2e

iq

(

)

3 + i z + 4e
2

2 iq

(1 + i 3 ) z - 8ie

3iq

(

)

3 + i z + 4 1 + i 3 z - 8i = 0

(

= 0 a) Démontrer que : ze

- iq

) est solution de (E) si et

seulement si z est solution de Eq .
b) En déduire les solutions de l’équation
( Ep ) suivante :...
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