Répartition de richesse theorie economique

Pages: 9 (2183 mots) Publié le: 7 janvier 2012
21/10/2010

Algèbre linéaire
Contenu du cours :
A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation

B. C.

Partie 1

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Introduction : Rappels

Systèmes d’équationslinéaires

Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous traitons ici le cas général) est de la forme :
                  

S: . .
.

a x +a x +a x +...+a xp=b 11 1 12 2 13 3 1p 1 a x +a x +a x +...+a xp=b 21 1 22 2 23 3 2p 2 a x +a x +a x +...+anpxp=bp n1 1 n2 2 n3 3

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x1 , x2 , …, xp sont les inconnus ( àchercher dans IR )
aij : coefficient dans la ième équation de l’inconnu x j ( 1≤i≤n ; 1≤ j≤p )
coefficient inconnu

...+aijx j +...

ième équation

Exemple 1 : (2 équations & 4 inconnus) )
S:
        

2x +3x +5x -9x =2800 1 2 3 4 3x +7x +6x +4x =5300 4 1 2 3

Exemple 2 : (4 équations & 2 inconnus) )
x +2y =5 S: 2x − y =0 − x + 4y =7 3x − y =1
              Notés x et y

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Exemple 3 : (3 équations & 3 inconnus) )

x + 2y + 3z = 2  S : 2x − y + z = 4 − x + 4y + 5z = 0 
5x +12y +6z +2t = 2 S: 2x - y + z+2t =8 − x + y −5z +3t =10
            

Notés x, y et z

Exemple 4 : (3 équations & 4 inconnus) )

Cas particulier de systèmes linéaires
systèmes linéaires de n équations et à n inconnus
                   

S: . . .
.

a x +a x +a x +...+a xn=b 11 1 12 2 13 3 1n 1 a x +a x +a x +...+a xn=b 21 1 22 2 23 3 2n 2 a x +a x +a x +...+annxn=bn n1 1 n2 2 n3 3

On parle dans ce cas de système linéaire carré

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Exemple 1 : (2 équations & 2 inconnus) )
S: 5x +3y =13 2x - y =3
      

Exemple 2 : (3 équations & 3 inconnus) )
x +5y + z = 2 S: 2x+2y −z = 4 − x + y + z =3
            

Résolution des systèmes linéaires

(Partie 1)

Algorithme de Gauss « C’est la Méthode d’élimination »
L’algorithme de Gauss (ou la Méthode de Gauss), plus connu sous le nom de : La méthode de Pivot de Gauss, est la méthode la plus rapide pour résoudre un système linéaire

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Pour résoudre un système linéaire, nousutilisons : La méthode du Pivot Partiel Ou La méthode du Pivot Total

La méthode du pivot partiel
Se compose de 2 étapes :
1.

La descente : consiste à créer des « 0 » sous la diagonale principale, en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes (c’est-à-dire les équations) du système La remontée : pour extraire les solutions (une à une) du système

2.

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Laméthode du pivot total
Se compose d’une étape : Elle consiste à créer des « 0 » au dessus et au dessous de la diagonale principale, en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes du système. A la fin, nous avons directement les solutions du système

Exemples

1. Résoudre le système linéaire suivant, en utilisant un pivot partiel :

S:

            

x + 2y+3z =14 2x −y+z =3 3x + 4y−z =8

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Étape 1 : La descente
3 14 L 1 S ↔ 2 −1 1 3 L 2 3 4 −1 8 L 3 1 2 L ←L 1 1 ⇔ 0 −5 -5 -25 L ←L −2L 2 2 1 0 -2 −10 -34 L ←L −3L 3 3 1 1 2 3 14 L ←L 1 1 L ←L ⇔ 0 -5 -5 -25 2 2 0 0 - 40 -120 L ←5L −2L 3 3 2 1 2 3 14

Étape 2 : La remontée
Le dernier tableau correspond au système suivant :
          

x + 2y +3z =14 −5y −5z = −25 − 40z = −120⇒z = 3

 x + 2×2 + 3×3 =14 ⇒ x =1 x + 2y +3z =14  ⇔ −5y −5×3 = −25⇒ y = 2 ⇔ y = 2  z = 3 z =3            

Le système S admet donc une solution unique « dans l’ordre » : (1 , 2 , 3) L’ensemble solution est donc : S = (1,2,3)  
 

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Exemples

2. Résoudre le système linéaire suivant, en utilisant un pivot partiel :

x + 2y+3z = 2 S : 2x −...
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