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2ndeContrˆ ole de math´ ematiques Exercice 1 On consid`ere dans un rep`ere orthonormal les points A(−1; 2), B(2; 3) et
C(0; −1).
1) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2) D´eterminer les coordonn´es du point D tel que le quadrilat`ere ABDC soit un parall´elogramme.
3) Calculer les longueurs AD et BC.
Que remarque-t-on ? Etait-ce pr´evisible ?
−−→
4 −−→
5
Exercice 2 Soit ABCD un carr´e. On consid`ere les points E et F d´efinis par BE = BC
−→
−→ et AF = 5AB.
1) Faire une figure.
−→ −−→
2) a) D´eterminer dans le rep`ere (A; AB, AD) les coordonn´ees des points A, B, C, D,
E et F .
b) Montrer que les points D, E et F sont align´es.
Exercice 3 Dans un rep`ere orthonormal, on consid`ere les points A(−1; 5), B(6; 4) et
C(7; 1).
On d´esigne de plus par I(x; y) le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
1) Justifier l’´egalit´e IA2 = IB 2 , et en d´eduire que y = 7x − 13. x+1 2) Justifier l’´egalit´e IC 2 = IB 2 , et en d´eduire que y =
.
3
3) D´eterminer alors les coordonn´ees de I.
Exercice 4
Une masse A de 2 kg et une masse B de 3 kg sont en ´equilibre sur une tige rigide.
Ces deux masses sont situ´ees en A(2; 0) et B(7; 0).
Le centre d’inertie G de l’ensemble (point d’´equilibre), est
−→
−−→ −
→
d´efini par : 2GA + 3GB = 0 .
D´eterminer les coordonn´ees du point G.
A
G
B