La plupart des approches modernes de la relativité générale se basent sur le concept de variété. Plus précisément, la construction physique de base représentant la gravitation – un espace-temps courbe – est modélisée par une variété pseudo-riemanienne lorentzienne à quatre dimensions, continue, connexe et constituant un espace séparé ou espace de Hausdorff. Les autres grandeurs physiques sont représentées par différents tenseurs (voir plus loin).
L'objectif dans le choix d'une variété comme structure mathématique de base est de pouvoir refléter au mieux les propriétés physiques. Par exemple, dans la théorie des variétés, chaque point p est contenu dans un voisinage muni d'un système de coordonnées appelé carte, et peut être pensé comme une représentation locale de l'espace-temps autour de l'observateur (représenté par le point p). La carte munie de son système de coordonnées permet de décrire localement l'espace autour du point de la variété. Le principe de covariance de Lorentz local, qui affirme que les lois de la relativité restreinte s'appliquent localement en chaque point de l'espace-temps, fournit une raison supplémentaire pour le choix de la variété pour représenter l'espace-temps : on peut préciser ce point en affirmant que localement autour d'un point d'une variété, la région « ressemble » à un espace de Minkowski (espace-temps plat).
L'idée d'une carte munie d'un système de coordonnées comme un observateur local pouvant effectuer des mesures à proximité a aussi un sens du point de vue physique, car cela correspond à la manière de fonctionner pour les mesures expérimentales – effectuées localement. Pour des problèmes cosmologiques, une carte peut être un voisinage relativement grand. En revanche, la description complète de l'espace-temps entier nécessite en général plusieurs cartes, regroupées au sein d'un