21/10/2010

Algèbre linéaire
Contenu du cours :
A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation

B. C.

Partie 1

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Introduction : Rappels

Systèmes d’équations linéaires

Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous traitons ici le cas général) est de la forme :
                  

S: . .
.

a x +a x +a x +...+a xp=b 11 1 12 2 13 3 1p 1 a x +a x +a x +...+a xp=b 21 1 22 2 23 3 2p 2 a x +a x +a x +...+anpxp=bp n1 1 n2 2 n3 3

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x1 , x2 , …, xp sont les inconnus ( à chercher dans IR ) aij : coefficient dans la ième équation de l’inconnu x j ( 1≤i≤n ; 1≤ j≤p ) coefficient inconnu

...+aijx j +...

ième équation

Exemple 1 : (2 équations & 4 inconnus) )
S:
        

2x +3x +5x -9x =2800 1 2 3 4 3x +7x +6x +4x =5300 4 1 2 3

Exemple 2 : (4 équations & 2 inconnus) ) x +2y =5 S: 2x − y =0 − x + 4y =7 3x − y =1
              

Notés x et y

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Exemple 3 : (3 équations & 3 inconnus) )

x + 2y + 3z = 2  S : 2x − y + z = 4 − x + 4y + 5z = 0 
5x +12y +6z +2t = 2 S: 2x - y + z+2t =8 − x + y −5z +3t =10
            

Notés x, y et z

Exemple 4 : (3 équations & 4 inconnus) )

Cas particulier de systèmes linéaires systèmes linéaires de n équations et à n inconnus
                    

S: . . .
.

a x +a x +a x +...+a xn=b 11 1 12 2 13 3 1n 1 a x +a x +a x +...+a xn=b 21 1 22 2 23 3 2n 2 a x +a x +a x +...+annxn=bn n1 1 n2 2 n3 3

On parle dans ce cas de système linéaire carré

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Exemple 1 : (2 équations & 2 inconnus) )
S: 5x +3y =13 2x - y =3
      

Exemple 2 : (3 équations & 3 inconnus) ) x +5y + z = 2 S: