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Series temporelles

1034 mots 5 pages
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On measuring correlation of financial time series with high-frequency data

WCDM04, Torino, 9-10 January 2004
Roberto Ren` o reno@unisi.it Dipartimento di Economia Politica, Universit` di Siena a

January 2004 – p.1/18

Introduction
Measuring linear correlation among assets is crucial in financial applications (e.g. Markovitz theory). The last decade witnessed the advent of high-frequancy data. High frequency data are very peculiar: Unevenly sampled Microstructure effects Huge quantity of data

New econometric techniques are needed!

January 2004 – p.2/18

Measuring linear correlation d We assume that p t is the solution of the following stochastic differential equation (SDE):

¡

¢

£

¤

dp t p0

µ t dt x

σ t dW t

¡

¢

¡

¢

¡ ¡

¢

Standard techniques need interpolation of the data to get an evenly spaced grid:

Sτn X Y

t

m 1

∑

©

¥

¢

¥

 

¦

©

¡ t ¢
Yτn m

Xτn m

1

t

Xτn m

t

Yτn m

§

1











¨



  t ¡ ¥

¢









January 2004 – p.3/18

The Fourier method we adopt instead an estimator based on Fourier analysis. We define the Fourier coefficients of the i-th component d pi in the usual way:

ai0

dp

1 2π

2π

¡

¢

d pi t
0 2π

¥

¡

¢

aik d p

1 π

cos kt d pi t
0

bik d p

1 π

2π

¡

¢

¡

¢

§ ¢

¡

¡

¢

¡ sin kt d pi t
0

¢ bk Σi j sin kt

and similar formulas hold for ak Σi j bk Σi j ; from the Fourier coefficients of Σi j , Σi j t can be obtained pointwise by the Fourier-Fejer inversion formula:

§ ¢

¡

¡

Σi j t

n

lim

∞

k 0

∑

n

¢

1

k n

ak Σi j cos kt

¡

¢



¡

¢

¡

¡

¢

¢

¡

¢





!¢

¥



¦

¡

§ ¢

¥

¥

¡

January 2004 – p.4/18

Computing the coefficients
Theorem
N π 1 i j ak d p a k d p 1 n0 k∑0 2 n

"

a0 Σi j

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