Transformation de Fourier
1 Transformée de Fourier sur L1
Définition 1.1. La transformée de Fourier de u ∈ L1(Rd) est û(ξ) =
∫
e−ix·ξu(x)dx, où x · ξ = x1ξ1 + · · · + xdξd pour x, ξ ∈ Rd. L’application u 7→ û s’appelle la transformation de
Fourier.
Remarque. Il est trivial mais utile de noter que û(0) =
∫
u dx.
Théorème 1.2. La transformation de Fourier est linéaire de L1(Rd) vers L∞(Rd) et
||û||L∞(Rd) ≤ ||u||L1(Rd). (1.1)
De plus, pour toute u ∈ L1(Rd), û est continue sur Rd.
Démonstration. …afficher plus de contenu…

Plus généralement, une itération de cet argument montre que pour tout α ∈ Nd, ξα∂βξ ϕ̂ = i−|α+β| ̂∂αx (xβϕ).
Comme ∂αx (xβϕ) est de Schwartz (Proposition 3.3) donc intégrable (Proposition 3.2 avec q =
1), ξα∂βξ ϕ̂ est bornée (d’après 1.1). Ainsi ϕ̂ ∈ S(Rd). En particulier, on peut utiliser la formule d’inversion (qui est valable partout car ϕ est continue). Cela prouve la surjectivité de la transformée de Fourier puisque toute ϕ ∈ S(Rd) s’écrit ϕ(x) = ψ̂(x) avec ψ(ξ) = (2π)−d ˇ̂ϕ(ξ) qui est clairement une fonction de Schwartz. �
Complément. Dans cette courte section, nous avons vu des propriétés algébriques de l’espace de
Schwartz et de la transformée de Fourier. On peut mettre une topologie ”naturelle” sur …afficher plus de contenu…

On en déduit donc que Fu et û cöıncident presque partout. �
Proposition 4.4. Pour toutes u, v ∈ L2(Rd), on a∫
(Fu)v =
∫
u(Fv). (4.4)
Démonstration. On sait que l’identité (4.4) est vraie si u, v ∈ S(Rd) d’après (1.3). Le résultat s’obtient donc par densité puisque les deux membres de (4.4) dépendent continûment de u et v dans L2(Rd).
A Exercices
Exercice 1. Calculer les transformées de Fourier (sur R) de e−|x|, χR+(x)e−x, χ[−1,1].
Exercice 2. On dit qu’une fonction f : R → C est α-Höldérienne, avec α ∈]0, 1], si il existe Cf telle que, pour tous x, y ∈ R,
|f(x)− f(y)| ≤ Cf |x− y|α.
On note Cα0 (R) l’espace vectoriel des fonctions α-Höldériennes à support compact et on note
||f ||α = sup x∈R |f(x)|+ sup x 6=y,