Sons

Pages: 29 (7012 mots) Publié le: 1 novembre 2012
Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc

.:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e

Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e

Chapitre II: Rappels et compl´ments sur les nombres r´els et e e complexes.

Par Prof: Jilali Mikram Grouped’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma

Ann´e : 2005-2006 e

1

TABLE DES MATIERES
1 Les nombres r´els e 1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . 1.2 Les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . 1.3 L’ordre dans IR . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Partie enti`re d’un nombre r´el x : E(x) e e 1.5 Les intervalles ouverts et ferm´s dans IR e1.6 Les intervalles dans IR . . . . . . . . . . 1.7 Minorant, majorant . . . . . . . . . . . . 1.8 Borne sup´rieure . . . . . . . . . . . . . e 1.9 Borne inf´rieure . . . . . . . . . . . . . . e 1.10 L’axiome de la borne sup´rieure . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 5 5 6 8 8 9 10 11 11 11 12 13 14 15 16 17 17 18 19 21 21

2 Les nombres complexes 2.1 Lois de composition interne de IR2 . .. . . . . . . 2.2 Parties r´elle et imaginaire d’un nombre complexe e 2.3 Formule du binˆme de Newton . . . . . . . . . . . o 2.4 Conjugu´ et module d’un nombre complexe . . . . e 2.5 In´galit´ triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.6 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . 2.7 Repr´sentation graphique des nombres complexes e 2.8 La formule de De Moivre . . . . . . . . . . . .. . 2.9 Le th´or`me de d’Alembert - Gauss . . . . . . . . e e 2.10 Racines ni`mes de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . e e 2.11 Racines d’une ´quation du second degr´ . . . . . e e 2.12 Introduction ` l’exponentielle complexe . . . . . . a 2.13 Application au calcul trigonom´trique . . . . . . . e

2

Rappels et compl´ments sur les e nombres r´els et complexes e
1
1.1

Les nombresr´els e
Loi de composition interne

Dans l’ensemble des entiers naturels, l’ensemble des entiers relatifs et l’ensemble des rationnels, vous connaissez deux lois de composition interne qui sont les op´rations : addition et multiplication. On dit que ce sont des lois de come position interne car si (x, y) ∈ E × E(E = IN ou Z ou Q) le r´sultat de l’addition ou de la multiplication est aussi dansE.Ainsi, dans e IN, on a ∀n ∈ IN, ∀m ∈ IN, n + m ∈ IN et n ∗ m ∈ IN. Par contre la loi ”soustraction” n’est pas une loi de composition interne dans IN, en effet 2 ∈ IN, 3 ∈ IN et 2 − 3 ∈ IN. C’est pour rem´dier ` ce d´faut que l’on a e a e construit l’ensemble des entiers relatifs Z, o` la soustraction est une addition u ” d´guis´e ” entre le premier nombre et l’oppos´ du second. L’addition dans e e e Zv´rifie alors les propri´t´s suivantes : e ee 1. elle est commutative : ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z, a + b = b + a, 2. elle est associative : ∀a ∈ Z, ∀b ∈ Z, ∀c ∈ Z, a + (b + c) = (a + b) + c, 3. elle a un ´l´ment neutre : ∃e ∈ Z tel que ∀a ∈ Z, a + e = e + a = a ee ee e 4. tout ´l´ment a admet un oppos´ : ∀a ∈ Z, ∃a ∈ Z, tel que a + a = a+a=e Si une loi de composition interne d’un ensemble E, not´e parexemple ♦ e , v´rifie les propri´t´s (2, 3, 4) ci-dessus , o` a, b, c sont maintenant des e ee u ´l´ments quelconques de E, et le signe ” + ” remplac´ par ” ♦ ”, on dit ee e qu’elle est une loi de groupe dans E, ou que (E, ♦) est un groupe. Si en plus, la loi est commutative, le groupe est dit commutatif ou ab´lien (du nom e du math´maticien norv´gien Niels H. Abel (1802-1829)). (Z, +) est donc e e...
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