BTS IG deuxi`me ann´e e e

BTS Blanc de math´matiques e
Nom : Pr´nom : e Dur´e : 3 heures. Les calculatrices sont autoris´es. Les documents sont e e interdits. Ecrivez toutes les r´ponses directement sur le sujet. e

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Etude d’une fonction rationnelle (9 points)

Soit la fonction f (x) = 1 −

2 1−x 1. 1 point Donner le domaine de d´finition de f . Nous noterons Df ce domaine. e Solution: Df = {x|1 − x = 0}, or 1 − x = 0 ⇐⇒ 1 = x, donc Df = R \ {1}. 2. 4 points Calculer les limites suivantes en d´taillant le plus possible les r´ponses. e e (a) 1 point x−→−∞ lim f (x)

2 Solution: On a lim 1−x = +∞ , donc lim f (x) = lim 1− . Comme x−→−∞ x−→−∞ X−→+∞ X 2 2 2 + − lim = 0 , alors lim − = 0 et lim f (x) = lim 1 − = 1− . x−→−∞ X−→+∞ X X−→+∞ X−→+∞ X X (b) 1 point x−→+∞ lim f (x)

2 Solution: On a lim 1−x = −∞ , donc lim f (x) = lim 1− . Comme x−→+∞ x−→+∞ X−→−∞ X 2 2 2 − + = 0 , alors lim − = 0 et lim f (x) = lim 1 − = 1+ . lim x−→+∞ X−→−∞ X−→−∞ X−→−∞ X X X (c) 1 point x−→1− lim f (x)

2 = Solution: On a lim− −x = −1+ , donc lim− 1 − x = 0+ . lim− x−→1 x−→1 x−→1 1 − x 2 2 lim + = +∞. Donc lim + − + = −∞ et lim− f (x) = −∞. X−→0 X X−→0 x−→1 0 (d) 1 point x−→1+ lim f (x)

Solution: On a

2 2 lim − = −∞. Donc lim + − − = +∞ et lim− f (x) = +∞. X−→0 X X−→0 x−→1 0 3. 1 point Calculer la d´riv´e f ′ de la fonction f . e e Solution: f est de la forme u − 2v avec u(x) = 1 et v(x) =

x−→1

lim+ −x = −1− , donc

x−→1

lim+ 1 − x = 0− .

X−→1

lim +

2 = 1−x

1 . On a u′ (x) = 0 1−x −u′ (x) 1 ′ ′ avec w(x) = 1 − x. On a w (x) = −1 et v (x) = = et v est de la forme w u(x)2 −(−1) 1 2 = . Donc f ′ (x) = u′(x) − 2v ′ (x) = − (1−x)2 . 2 (1 − x) (1 − x)2

4. 1 point D´terminer en fonction de x le signe de f ′ . e Solution: Pour tout x ∈ Df , (1 − x)2 est positif (car un carr´ est toujours positif). e Donc f ′ est du signe de −2, donc f ′ est n´gatif sur Df . e 5. 1 point En d´duire les variations de f sur Df . e Solution: Comme f ′ est