TS spécialité

Correction Devoir maison 2

2012-2013

Le but de l’exercice est de déterminer des couples (a, b) d’entiers vérifiant l’égalité (1) : a2 − 2b2 = 1 1. On suppose que (a, b) est solution. (a) Prouver que a est impair. a existe puisque l’on suppose que (a, b) est solution. Supposons alors que a est pair. On a donc a ≡ 0 (2) puis a2 ≡ 0 (2) et comme 2b2 ≡ 0 (2) en vertu des propriétés de compatibilité des congruences, on obtient : a2 − 2b2 ≡ 0 (2). Ceci est contraire au fait que a2 − 2b2 = 1. Ainsi a est impair. (b) a2 − 1 est multiple de 4. D’après la question précédente, il existe k ∈ Z tel que a = 2k + 1. a2 − 1 = (2k + 1)2 − 1 = 4k 2 + 4k + 1 − 1 = 4(k 2 + k) donc a2 − 1 est un multiple de 4. b est pair. Si b est impair alors b ≡ 1 (4) ou b ≡ 3 (4) donc b2 ≡ 1 (4) et donc 2b2 ≡ 2 (4). Or d’après la question précédente, a2 −1 ≡ 0 (4) et l’égalité a2 −1 = 2b2 n’est pas possible. On aboutit à une contradiction donc b est pair. (c) a et b sont premiers entre eux. L’égalité a2 − 2b2 = 1 peut s’écrire de la façon suivante : a × a + b × (−2b) = 1. L’égalité de Bezout est vérifiée et donc les nombres a et b sont premiers entre eux. 2. (a) Solution évidente de l’équation (1). Une solution est par exemple le couple (3; 2) : en effet, 32 − 2 × 22 = 1. (b) (a, b) solution de (1) implique que le couple (3a + 4b, 2a + 3b) l’est aussi. On suppose que (a; b) est solution. Calculons (3a + 4b)2 − 2(2a + 3b)2 = 9a2 + 24ab + 16b2 − 8a2 − 24ab − 18b2 = a2 − 2b2 = 1 car (a; b) est solution. Le couple (3a + 4b, 2a + 3b) est donc bien solution de l’équation. (c) 3 autres solutions de (1). Partant de (3; 2) solution de (1) : Le couple (3 × 3 + 4 × 2; 2 × 3 + 3 × 2) = (17; 12) est également solution de l’équation. On réitère le procédé pour générer deux autres solutions : (99; 70) et (577; 408) 3. (a) Algorithme qui affiche un couple d’entiers supérieurs à 1000 vérifiant (1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 VARIABLES a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE c