DM : Généralités sur les suites

DM : Etude d'une suite récurrente

On considère la fonction f : x → 1 − x2 et la suite récurrente u dénie par u0 ∈ R et :
∀n ∈ N, un+1 = f (un ).

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f et étudier le signe de f (x) − x (qu'on fera gurer dans le tableau de variations) en fonction de x.
2. Déterminer les points xes α et β (α < 0 < β ) de la fonction f .
3. En déduire que, si la suite (un )n∈N converge, elle converge nécessairement vers α ou β .
4. On suppose que u0 ∈ [0, β[.
a. Démontrer alors que, pour tout entier n, on a : u2n ∈ [0, β[ et u2n+1 ∈ ]β, 1].

b. Etudier le signe de f ◦ f (x) − x (factoriser l'expression à l'aide de racines évidentes).
c. Montrer que, si les suites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont convergentes, elles convergent nécessairement vers l'un des quatre réels suivants : α, 0, β ou 1.
d. Montrer que les suites extraites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont monotones.
e. (i) En déduire que ces deux sous-suites sont convergentes.
(ii) Déterminer leur monotonie.
(iii) Préciser leurs limites. La suite (un )n∈N converge-t-elle ?
f. Que peut-on dire lorsque u0 ∈ ]β, 1] ? Et lorsque u0 = β ?
5. On suppose désormais u0 < α.
a. Montrer que, pour tout n ∈ N, un < α.
b. A l'aide du signe de f (x) − x , étudier la monotonie de la suite (un )n∈N .
c. En déduire la limite de (un )n∈N .
6. Etudier la convergence de la suite (un )n∈N lorsque u0 = α.
7. A l'aide des questions précédentes, étudier la suite (un )n∈N lorsque u0 ∈ [−1, 0].
8. On suppose que u0 ∈]α, −1[. On suppose que la suite (un )n∈N est majorée par −1.
a. Montrer qu'alors tous les termes de la suite sont contenus dans l'intervalle ]α, −1].
b. A l'aide de la monotonie de la suite, étudier sa convergence éventuelle et établir une contradiction.
c. En déduire qu'il existe un entier n0 tel que un0 ≥ −1. Conclure.
9. Etudier la convergence de la suite (un )n∈N lorsque u0 > 1.

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