Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010
E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie A : Restitution organisée de connaissances f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] donc g − f est continue sur [a ; b] Pour tout x de [a ; b], f (x) g (x) donc g (x) − f (x) 0 b 6 points

donc b a b a a

[g (x) − f (x)] dx b b a

0 b b

[g (x) − f (x)] dx = g (x) dx − a g (x) dx − b f (x) dx et a b a a

[g (x) − f (x)] dx

0 donc

f (x) dx

0 soit a g (x) dx

f (x) dx.

Partie B 1. a. Pour tout x de [0 ; +∞[, f 1 (x) = ln(1 + x). Soit X = 1 + x, lim X = +∞ ; x→+∞ X →+∞

f 1 (x) = ln X or lim ln X = +∞ donc lim f 1 (x) = +∞. x→+∞ b. f 1 est la composée de deux fonctions : x −→ 1+x continue et dérivable sur [0 ; +∞[, à valeurs dans [1 ; +∞[ et x −→ ln x, continue et dérivable sur [1 ; +∞[, donc f 1 est continue et dérivable sur [0 ; +∞[. 1 ′ ′ f 1 (x) = donc pour tout x de [0 ; +∞[, f 1 (x) > 0 donc f 1 est x +1 strictement croissante sur [0 ; +∞[. u ′ (x) = 1 u(x) = x + 1 1 c. Soit : v (x) = ln(1 + x) v ′ (x) = x +1 u et v sont continues et dérivables sur [0 ; +∞[, de même que u ′ et v ′ donc I 1 = [u(x)v (x)]1 − 0
1

u(x)v ′ (x) dx ;
1 0

0

I 1 = [(x + 1) ln(x + 1)]1 − 0 2 ln 2 − 0 − 1 ;

x +1 dx = [(x + 1) ln(x + 1)]1 − 0 x +1 I 1 = 2 ln2 − 1.

1 0

1 dx =

f 1 (0) = 0 et f 1 est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc f 1 est positive sur [0 ; 1]. f 1 est continue sur [0 ; 1] donc I 1 est l’aire (en unité d’aires) du domaine limité par l’axe des abscisses, les droites d’équation x = 0, x = 1 et la courbe représentative de f 1 .

A. P M. E. P . .

Corrigé du Baccalauréat S

2.

a. Pour tout entier naturel non nul n, f n est la composée de deux fonctions continues sur [0 ; +∞[ : Pour tout x de [0 ; 1], 0 x −→ 1 + x n et x −→ ln x donc f n est continue sur [0 ; +∞[. xn 1 donc 1 1 + xn 2.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc ln 1 ln