Synthèse des démonstrations mathématiques
Examen de Rheto décembre 2012
1)Analyse : 1. Prop1 : Si f et g sont des fonctions dérivables sur l’intervalle i alors : fxg'x.dx=fxgx-f'xgx.dx

Dem : (fx.g(x))'=f'(x)g(x)+fxg'(x)
Donc f'x.gx.+fx.g'x.dx=fx.gx+c
Donc f'x.gx.dx+fx.g'x=fx.gx+c
=>fx.g'x.dx=fx.gx-f'x.gx.dx cqfd.
-Théorème de la moyenne 2. Def1 : theorème moyenne : Soit f une fonction continue sur [a,b] la moyenne de la fonction f sur cet interval est le nombre réel m donné par : m=1b-a.fx.dx
Dem : *faites le graph à la main en dessous

A1=A2<=>m.b-a=abfx.dx
<=>m=1b-a.abfx.dx
3. Prop2(theorème dela moyenne) : soit f une fonction continue sur [a,b] il existe c e [a,b] tel que fc=1b-aabfx.dx
Dem : *faites le graph à la main en dessous

On a :Soit [m,M] l’image pour f de [a,b] : [m,M]=f([a,b])
On a soit Vxe [a,b] : m≤fx≤M
=>m.dx 1≤fx.dx2≤M.dx(3)
=>mb-a≤fx.dx≤M(b-a)
=>m≤1b-a.fx.dx≤M
Donc ᴲ c e[a,b] tel que : c=1b-a.abfx.dx cqfd !
-Lien entre integrale definie et Primitive. 4. Prop1 lien entre int def et prim. :
-Soit f une fonction continue sur [a,b], la fonction F tel que
Fx=axfx.dx est primite de f sur [a,b]
Dem :

On doit montrer que F’(x)=f(x) or F'xo=limxxo Fx-Fxox-xo
=limxxo axfx.dx-ax0fx.dxx-xo=limxxox0xfx.dxx-xo=limxx01x-xo.x0xf(x)
-En appliquant le théorème de la moyenne à [x0,x] Il existe C tel que Fc=1x-x0.x0xfx.dx et Si x→x0, alors c→x0
On obtient : F'x=limcx0 fc=fx0 Car f est continue à x0 CQFD.

5. Prop2 : Si F est une primitive de f sur [a,b] alors, abfx.dx=Fb-Fa=[Fx]ba
Dem Si F est une primitive de f alors: axfx.dx=Fx+c d’après la prop1 pour x=a on aaafx.dx=fa+c
Donc 0=fa+c et c=-fa
Donc axfx.dx=Fx-F(a) et pour x=b on aaxfx.dx=Fb-F(a) cqfd.
-Calcul d’aire 6. Exemple air disque de rayon r :*faire le dessin en à la main

OP=r et x²+y²=r et x²+y²=r²et y²=r²-x²et y=±r²-x².
Posons x=rcosα x=0 => α=π2 dx=-rsinα.dx x=r => α=0