Corrigé du bac blanc TS 2008

Exercice 1 Conjectures
D’après la figure donnée sur le sujet, il semble que : 1) f est strictement croissante sur [−3; 2], 2) la courbe représentative de f est en dessous de l’axe (x′ x) sur ] − ∞, 0[, au dessus sur ]0, +∞[, et le traverse en x = 0.

Partie A - Contrôle de la première conjecture
1) f est dérivable sur Ê, et pour tout x ∈ Ê, f ′ (x) = 2xex−1 + x2 ex−1 − x = x (x + 2) ex−1 − 1 = xg (x) 2) Étude du signe de g (x) pour x réel (a) En +∞, la limite se calcule simplement, x + 2 et ex−1 = 1 ex tendant tous deux vers +∞ : e x→+∞ lim g (x) = +∞

Par contre, en −∞, il y a une indétermination à lever : g (x) = x→−∞ 2 xex + ex − 1 e e x→−∞ Or on sait que lim xex = 0 (théorème de croissance comparée), de même que lim ex = 0, donc : x→−∞ lim g (x) = −1

(b) De même, g est dérivable sur Ê, et g ′ (x) = ex−1 (1 + x + 2) = ex−1 (x + 3) Son signe est celui de x + 3, positif si x 3, négatif sinon.

(c) On déduit de ce qui précède le tableau de variations de g : x g (x) g (x) −1
′

−∞ −

−3 0 −1 − e−4 +

+∞ +∞

(d) Le tableau de variations montre que g garde un signe strictement négatif sur ]−∞; −3]. Sur [−3; +∞[, elle est continue (car dérivable), strictement croissante, et réalise donc une bijection de [−3; +∞[ sur [g (−3) ; +∞[. Comme 0 appartient à l’ensemble d’arrivée, l’équation g (x) = 0 admet une unique solution sur cet intervalle. Notons α cette solution. La réalisation d’une table de valeur montre successivement que 0 < α < 1, puis 0,2 < α < 0,3, et enfin 0,20 < α < 0,21. (e) On déduit du tableau de variations de g et de l’étude de l’équation g (x) = 0 le tableau de signe de g : x −∞ g (x) α −0+ +∞

3) Sens de variation de la fonction f sur

Ê x x g (x) f (x)
′

(a) Le tableau de signe de f se déduit simplement du fait que f (x) = xg (x) : −∞ 0 −0+ α + +∞

− −0+ +0− 0 +

(b) On en déduit le tableau de variations de f : x f ′ (x) f (x) −∞ La seule limite pas tout à fait évidente est