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Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 6 : La dérivation des fonctions

Chapitre 6 – La dérivation
A) Nombre dérivé
1) Limite d'une fonction en zéro
a) Exemple :

x 1 x – 2 La fonction g : x → est définie sur R*. x g(0) n'existe pas, mais g(x) existe pour x aussi petit qu'on le désire. On peut se demander ce qui se passe pour x très petit. Cela s'appelle "chercher la limite de g(x) quand x tend vers zéro". Or, pour x non nul, on a

2

21 x  −2 24x2x²−2 4x2x² = = = 42x x x x

2

Pour x = 0, cette expression vaut 4, et plus x est petit, plus elle s'approchera de 4. On dit alors que 4 est la limite de g en 0 (ou "quand x tend vers zéro"), et on écrit

lim g  x =4 . x 0

Plus précisément, on dit que la limite de g(x) quand x tend vers 0 est 4 parce que quel que soit le nombre ε > 0, si petit qu'il soit, on peut trouver un nombre α tel que l'intervalle ]0 - α ; 0 + α[ aura son image par g entièrement contenue dans l'intervalle ]4 – ε ; 4 + ε[. Dans notre exemple, pour avoir 4 - ε < g(x) < 4 + ε , il suffit d'avoir – ε < 2x < ε, c'est à dire : - ε/2 < x < ε/2. Une valeur possible pour α est donc ε/2 (remarquons que la valeur de α dépend de celle du ε choisi). Cas général : Soit l un réel quelconque, on aura :

lim g  x =l ssi ∀ 0 , ∃0 tel que x ∈]− ; [ => g  x ∈] l − ; l  [ x 0

Remarques : - Ce cas s'étend aisément à la limite de g(x) en a réel quelconque :

lim g  x =l ssi ∀ 0 , ∃ 0 tel que x ∈] a− ; a [ => g  x∈] l − ; l [ x a

. - Pour toutes les fonctions courantes, lorsqu'une fonction f est définie pour x = a, la limite de f en a est égale à f(a). Les fonctions qui ont cette propriété sont appelées fonctions continues en a, ou continues tout court si c'est vrai pour tout a. Ce ci correspond à une fonction dont on peut tracer le graphe sans lever le crayon (d'un trait continu).

2) Fonction dérivable en un point
Soit une fonction f définie sur Df et a ∈D f

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