PRIMITIVES
Introduction
On considère la fonction affine f définie par f(x) = 2x + 1
Soit D la droite représentant f dans un repère orthonormal.
Soient A et B deux points de D et soient A' et B' les projetés orthogonaux de A et B sur l'axe Ox.

B

On suppose que A et B ont pour abscisses respectives 1 et 2.
Le quadrilatère ABB'A' a deux cotés parallèles et un angle droit, donc ABB'A' est un trapèze rectangle.
L'aire

A

A d'un trapèze de bases b et B et de hauteur h est égale,

en unités d'aire, à

B + b x h.
2

Donc l'aire du trapèze ABB'A' est : c'est-à-dire A=3+5x1
2

donc

A = AA' + BB' x A'B'
2

A'

B'

A=4

On considère maintenant les points A et B d'abscisses respectives x1 et x2 , avec x1 < x2 ; f(x1) > 0 et f(x2) > 0.
ABB'A' est un trapèze rectangle.
Son aire, en unités d'aire est :

B

A = AA' + BB' x A'B'

2
Sachant que A et B sont sur la droite D, leurs ordonnées respectives sont f(x1) = 2x1 + 1 et f(x2) = 2x2 + 1
On a donc AA' = f(x1) ; BB' = f(x2) et A'B' = x2 - x1 f(x1) + f(x2) x (x2 - x1)
2
2x + 1 + 2x2 + 1
A= 1 x (x2 - x1)
2
A = (x1 + x2 + 1)(x2 - x1)

A=

A

A = x1x2 - (x1)2 + (x2)2 - x2x1 + x2 - x1
A = (x2)2 + x2 - (x1)2 - x1
A = (x2)2 + x2 - [(x1)2 + x1]

Donc

A'

B'

Si on appelle g la fonction définie sur IR par g(x) = x2 + x , on peut écrire A = g(x2) - g(x1) .
On peut remarquer que g est dérivable sur IR et que pour tout x ∈ IR , on a
La fonction g est donc une fonction dont la dérivée est f.

g'(x) = 2x + 1 = f(x)

On dit que g est une primitive de f.

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f.

Exemple
La fonction f définie sur IR par f(x) = 2x a pour primitive F définie sur IR par F(x) = x2 .
En effet F est dérivable sur IR et on a F' = f .
On aurait pu choisir F définie par F(x) = x2 + 1 ou F(x) = x2 - 5 ou plus généralement, si k