Voie économie

Pages: 6 (1496 mots) Publié le: 10 mai 2010
ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires
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MATHEMATIQUES
Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Lescandidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique B de IR3 est :  2 10 7    A=  1 43.    −2 −8 −6 On note I la matrice unité de M 3(IR) et on pose u = (2, 1, –2). 1) a) Montrer que Ker f = vect(u). b) La matrice A est-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteur v de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et tel que f (v) = u. b) Démontrer que le vecteur w de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et qui vérifie f (w) = v est w = (0, 1, –1). c) Montrer que (u, v,w) est une base de IR 3 que l’on notera B’. On note P la matrice de passage de la base B à la base B’. 3) a) Écrire la matrice N de f relativement à la base B’. En déduire la seule valeur propre de f. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? b) Donner la relation liant les matrices A, N, P et P –1, puis en déduire que, pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a : A k = 0. 4) On note CN(respectivement CA) l’ensemble des matrices de M 3(IR) qui commutent avec N (respectivement A). a) Montrer que CN est un sous-espace vectoriel de M 3(IR) et que CN = vect (I, N, N 2). On admet que CA est aussi un sous-espace vectoriel de M 3(IR). b) Établir que : M∈CA ⇔ P –1M P∈CN . En déduire que CA = vect (I, A, A 2). Quelle est la dimension de CA ? 1

Exercice 2
1 1   2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2[  1  1 On considère la fonction f définie par : f (x) =  2 si x ∈[ , 1[ 2 2 x 0 sinon.   1) Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité.

Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) et admettant la fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X a uneespérance et que celle-ci vaut

1 . 2

4) a) Déterminer E((X – 1) 2). 3 – ln 2. 4 5) On appelle variable indicatrice d’un événement A, la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. 1 On considère maintenant la variable aléatoire Y, indicatrice de l’événement (X ≤ ) et la 2 1 variable aléatoire Z, indicatrice de l’événement (X > ). 2 a) Préciser la relation liant Y et Z puisétablir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de Y et Z, noté ρ (Y , Z), est égal à –1. b) En déduire la valeur de la covariance de Y et Z. b) En déduire que X a une variance et que V(X) =

Exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout couple (x, y) de IR 2 par : f (x, y) = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x y – x – y. 1) a) Calculer les dérivées partielles premières de f. 1 1 b) En déduire quele seul point critique de f est A = ( , ). 6 6 2) a) Calculer les dérivées partielles secondes de f. b) Montrer que f présente un minimum local en A et donner la valeur m de ce minimum. y 1 3 1 3) a) Développer 2 (x + – ) 2 + (y – ) 2. 2 4 2 6 b) En déduire que m est le minimum global de f sur IR 2. 4) On considère la fonction g définie pour tout couple (x, y) de IR 2 par : g(x, y) = 2 e2x + 2e2y + 2 ex + y – ex – ey. 1 a) Utiliser la question 3) pour établir que : ∀(x, y)∈IR2, g(x, y) ≥ – . 6 b) En déduire que g possède un minimum global sur IR 2 et préciser en quel point ce minimum est atteint.

Problème
2

Partie 1 : étude d’une variable discrète sans mémoire. Soit X une variable aléatoire discrète, à valeurs dans IN telle que : ∀m∈IN, P(X ≥ m) > 0. On suppose également que...
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