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Résoudre dans :
1)
x + 24 + x + 3 + x + 8 = 0 .
2)
x + 24 − x + 3 − x + 8 = 0 .
3) x − 1 ≤ x 3 − 1 .

Soit, dans , le polynôme P( x) = 6( x − a)( x − b) + 3a ( x − b) + 2b( x − a) où a et b sont des nombres réels non nuls. 1) Calculer P(0), P(a) et P(b).
2) Déterminer le signe de P(0), P(a) et P(b) dans les cas suivants :
α) 0 < a < b
β) a < 0 < b
3) En déduire l’existence dans , des racines de l' équation P(x) = 0 et leurs positions par rapport à a et b dans les cas α et β.

( x − 2) 2
.
x −1 c 1) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( x) = ax + b +
.
x −1
En déduire que la courbe ( ) de f admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation .
2) Etudier f et tracer ( ) dans un repère orthonormé (O, i, j ) .

on considère la fonction numérique f définie par : f ( x) =

3) On considère dans le repère (O, i, j ) la droite (∆) passant par le point I de coordonnées ( -1, 0) et de coefficient directeur a.
a) Déterminer l’équation cartésienne de (∆).
b) On veut déterminer le nombre de points d’intersection de ( ) et (∆). Montrer que ceci revient à chercher le nombre de racines dans , suivant les valeurs de a, de l’équation :
(a − 1) x 2 + 4 x − (a + 4) = 0 .
Déterminer ce nombre de points d’intersection.

c) Dans le cas où (∆) coupe ( ) en deux points A et B, déterminer les coordonnées du milieu M de [AB]. ( Utiliser l’expression de la somme des racines d’une équation du second degré).
d) En éliminant a entre les coordonnées de M, montrer que l’ensemble ( de ces points M est
2
inclus dans la courbe ( ’ ) d’équation y = x − 1 − x 2
e) Etudier la fonction g : x x − 1 − , tracer ( ’ ) et indiquer ( x Soit E2 un plan vectoriel et f l’endomorphisme de E2 défini par :

f (i ) = 2i + 5 j et f ( j ) = −3i + j .

1) Ecrire la matrice de f dans la base ( i, j ) .
2) Soit v( x, y ) un vecteur de E2 et v '
(x '
,