Affixe

point P d'affixe 0, Q le point d'affixe 1 et M un point quelconque du plan d'affixe z . On note P ' =   P  et Q ' =   Q  puis p ' et q ' les affixes respectives des points P ' et Q ' . On sait que p ' ≠ q ', car p ≠ q , donc P ' ≠ Q ' P P ' P ' M ' PM Si M ' =   M  alors on a par  Q  Q ' soit et  ; =  ; ce qui à l'aide des affixes donne : = PM P ' M ' QP Q ' P ' Q'P' QP MM' z ' − p ' z −0 = q ' − p ' 1− 0 a = q ' − p ' ≠0 D'où z ' − p ' =  q ' − p '  z soit encore z ' =  q

Propriété du conjugué d’un complexe Propriété : Pour tous complexes z et z’ de formes algébriques z = x+iy et z’ = x’+iy’ : • [pic] • [pic] • [pic] III – Module et arguments Définition : On considère un nombre complexe z non nul affixe d’un point M dans le plan muni d’un repère orthonormal direct [pic]. Si M a pour coordonnées polaires [pic], alors r est le module de z noté [pic] et [pic] est un argument de z noté arg z. [pic] On a [pic]= r = OM et arg z = [pic] = [pic](2[pic])

montre que C est l’image de B dans la rotation R 2π de centre O et d’angle . 3 3 + i + zE ⇐⇒ zE = 2 Donc z3 = ei 2π 3 3. Soit a. O est le milieu de [AE], ce qui se traduit par 0 = − 3 − i. 2π 3 b. L’image du point C par la rotation R a une affixe égale à : ei 3 1 (2i) = − 3 − i = zE (2i) = − + i 2 2 4. On a BE = |zE − zB | = | − 3 − i − 3 + i| = |2 3| = 2 3 ; BC = |zC − zB | = |2i − 3 + i| = | − 3 + 3i| = 3 + 9 = 12 = 2 3 ; CE = |zE − zC | = | − 3 − i − 2i| = | − 3 − 3i| = 3 + 9 = 12 = 2

milieu de [AB] et S semblent décrire un segment porté par la droite d’équation y = –x, délimité par les points 1 1 1 1 A′(  ; – ) et B′(–  ; ). 2 2 2 2 2 a. L’équation de (AB) est y = 1 – x, donc zM = x + i(1 – x). b. Soit I le milieu de [PQ]. Son affixe est 1 zI =  (x + i(1 – x)). Le triangle PIR est rectangle 2 isocèle direct donc on a : zR – zI = i(zP – zI) donc zR = zI + i(zP – zI) = 1 1 1 1 (x + i(1 – x)) + i(x –  (x + i(1 – x)) =   + i . 2 2 2 2 Le triangle PIS est rectangle isocèle indirect

+ 11i/5 3.3.3 Module d’un nombre complexe x2 + y 2 . Définition : z est un nombre complexe, z = x + iy (x et y réels). Le module de z est le nombre réel positif noté |z| et défini par |z| = Propriété : Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM = |z|. Remarques – Si z est un nombre réel, le module de z correspond à la valeur absolue de z. – |z| = 0 équivaut à z = 0 car OM = 0 équivaut à O = M . – on a : z z = x2 + y 2 = |z|2 . ¯ 3.4 Résolution dans C d’équations du second degré

l’affixe zE du point E est : 3 zE = e 3 (zD – zA) + zA 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 zE =  + i (1 – i) + i = + i – i + +I= + + i + i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 On a :  +  (1 + i) = + + i+ i 2 2 2 2 2 2  1 3 Le point E a bien pour affixe  +  (1 + i). 2 2  2. Affixe zD’ du point D’ associé au point D par l'application f : 2z – i 2 – i 1 – i 2 – 2i – i – 1 1 – 3i zD’ = D = × = = izD + 1 1 + i 1 – i 2 2 3. a) Pour tout nombre complexe z différent de i : 2z – i 2z – i – 2z + 2i i  (z’ + 2i)(z –

Ê, Ë les milieux respectifs des segments , , , . a) Prouver que ÈÉÊË est un parall`elogramme. ʹ É É¹ È D´eterminer le module et un argument de Z. En d´eduire que ÈÉÊË est un carr´e. b) On pose : 4. a) Calculer, en fonction de Ö et , les affixes respectives des points È et É. b) Quelle est, en fonction dr Ö et , l’aire du carr´e ÈÉÊË ? c) Ö e´ tant fix´e, pour quelle valeur de Quelle est alors l’affixe de ? cette aire est-elle maximale ? ` PROBLEME (11 points) ½ Soit la fonction d´efinie

: OB′ = − OB soit en termes d’af2 3 3 π π fixes b ′ = − b = − × 2e−i 6 = −3e−i 6 . 2 2 2π π On a −3 = 3 × (−1) = 3 × eiπ . Donc b ′ = 3eiπ × e−i 6 = 3ei 3 . Le module de b ′ est donc égal à 3 et B′ est aligné avec O et B. π 3. a. Si C a pour affixe zC = c, on a |c| = OC = R. Or si c = x + y, alors cc = (x + iy)(x − iy) = x 2 + y 2 = |c|2 = R2 . Or on sait d’après le premier calcul que le produit de deux complexes conjugués est égal au carré de leur norme. Or (c−2i)(c+2i) = (c−2i)(c − 2i) = −→

cases par des étiquettes. P=phrase SN= syntagme nominal (le petit garçon) SV=syntagme verbal (regardait le chat) Art= article (le) M.N=membre nominal (petit garçon) V=verbe (regardait Adj=adjectif (petit) R.V=racine verbal (regad de regardait) TPS= affixe temporel (ait de regardait) N=nom ((garçon, chat) L’analyse prend donc la forme suivante : Le petit garçon regardait le chat P SN SV Art MN V SN Art Adj N RV Tps Art N J , DUBOIS. (1969) .Grammaire distributionnelle. In: Langue française

= −arg(z− z −1 z −1 1) mod [2π]. 1 1 3 3 −i et z2 = + i ou encore 2 2 2 2 b. M d’affixe z appartient au cercle C de centre A et de rayon r si et seulement si |z −1] = r . D’après la question précédente l’image M de ce point 1 1 = = OM . a une affixe z telle que z = |z − 1| r Conclusion : l’image d’un point du cercle C appartient au cercle C de 1 centre O et de rayon . r 1 c. Application si r = : pour avoir un argument opposé on construit sur les 2 1 deux cercles de rayons deux arcs de même longueur