Analyse discriminante

sont solutions de X2-SX+P=0 en remplaçant X par a puis b.a2-a+ba+ab=a2-a2-ab+ab=0 b2-a+bb+ab=b2-ab-b2+ab=0 CQFD Condition nécessaire d’existence de a et b: il faut que l’équation X2-SX+P=0 admette deux solutions distinctes, c’est à dire que le discriminant soit positif. Il faut que (-S)2-4×1×P≥0. Or S2-4P=a+b2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2qui est toujours positif ou nul. Donc a et b existent toujours (sans condition). Soit L et l les dimensions de ce rectangle alors L×l=195 et L+l=28

fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0 B - Forme canonique Théorème 2 Pour tout réel x , on ax bxc=a   2 b b 2−4 ac x − 2a 4 a2  Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant Démonstration    b c ax bxc=a x   =a ax a 2 2    2 b b2 c x − 2  =a 2a 4a a  2 b b2 −4 ac x − 2a 4 a2  Exemple : f  x =−2 x 24 x2 f  x =−2 x 2−2 x−1=−2 x−12−1−1=−2  x −12 −2 C - Représentation graphique

Chapitre 1 Chapitre 1. Le second degré Activités et applications Application 1 a) – 3x2 + 5x – 2. 1. Équation du second degré ; discriminant Δ = 52 – 4 × (– 3) × (– 2) = 1 > 0. x1 = Activité 1. a) et b) D’après le graphique, le 1er projectile tombe à – 5 – 11 – 5 + 11 2 = 1 ; x2 = = . –6 –6 3 – 3x2 + 5x – 2 + 0 – Δ = 32 – 4 × 2 × (– 1) = 17 > 0. x1 = – 3 – 417 – 3 + 417 ; x2 = . 4 4 x a) x2 – 5x + 4 = 0. 2x2 + 3x – 1 Δ = (– 5)2 – 4 ×

de n\,, ce que ne permet pas la formule de récurrence. Comme la suite de Fibonacci est linéairement récurrente d’ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré : x^2 - x - 1 =0.~ Le calcul du discriminant de cette équation donne les deux solutions du polynôme : x_1=\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\qquad\text{et}\qquad x_2=\varphi'=-\frac1\varphi=\frac{1-\sqrt5}2, où \varphi est le nombre d'or. Les suites (\varphi^n) et (\varphi'^n) engendrent alors

d’une fonction polynôme est une parabole La fonction admet un minimum pour maximum vaut : ou un maximum pour II. Résolution d’une équation du second degré , ce minimum ou avec Pour résoudre une équation du type On calcul le discriminant delta noté . est donné par la formule :  l’équation Si et  et . admet deux solutions distinctes : sont appelées les racines de la fonction l’équation Si , admet une solution double est appelée la racine de

15152 − 4 × 2014 × (−2013) = 15152 + 4 × 2014 × 2013 > 0 donc ce trinômr admet deux 2013 < 0 donc elles sont de signes contraires. racines distinctes. Le produit de ces racines vaut − 2014 b. Le trinôme −7(13x − 17)2 a un discriminant nul. 17 est une racine double donc le discriminant de ce trinôme est nul. Le nombre réel 13 Massy Soedirman – Mathématiques – Lycée Louis le Grand Première S1 Année 2014-2015 c. Si a et c sont de signes contraire, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 a deux solutions

trinôme du second degré est une parabole de sommet S(α; β), orientée vers le haut ou vers le bas ; on a donc deux cas de figure : Si a > 0 α Si a < 0 α β x P (x) −∞ +∞ +∞ +∞ x P (x) −∞ +∞ β −∞ −∞ II Discriminant Définition : On appelle discriminant du polynôme P (x) = ax 2 + bx + c le nombre ∆ = b 2 − 4ac. 1) Racines Déterminer les racines d’un polynôme P (x) = ax 2 + bx + c revient à résoudre l’équation P (x) = 0 soit ax 2 + bx + c = 0. – si ∆ < 0, l’équation n’a pas

f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c. On obtient ainsi la forme canonique de f : f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a Exemple : Pour tout réel x, f(x)=-2x^2+12x-14. On calcule le discriminant de f : a=-2 b=12 c=-14 〖12〗^2-4*(-2)*(-14)=144-112=32 On calcule (–b)/2a "et " (-∆)/4a (-b)/2a=(-12)/(2*(-2))=(-12)/(-4)=3 (-∆)/4a=(-32)/(4*(-2))=(-32)/(-8)=4

ç ö ø ÷ = a x b a b a c a + æ è ç ö ø ÷ - + æ è ö 2 4 ø 2 2 2 = a x b a b ac a + æ è ç ö ø ÷ - æ - è ö 2 ø 4 4 2 2 2 Pour simplifier cette écriture, posons D = b 2 – 4ac. La quantité D s’appelle le discriminant du trinôme ax 2 + bx + c. On a ainsi : ax 2 + bx + c = a x b a a + æ è ç ö ø ÷ - æ è ö ø 2 4 2 2 D Définition 3 : Cette dernière expression, de la forme a(x + a) 2 + b s’appelle la forme canonique du trinôme. Cette forme

bx + c = 0 avec a ≠ 0 Cette équtation équivaut à : a [ ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c ] = 0 2 a 4 a2 comme a ≠ 0 : ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c = 0 2 a 4 a2 Posons ∆ = b2 – 4 a c ; ∆ est appelé discriminant du trinôme. ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c = 0 devient: 2 a 4 a2 ( x + b ) ² = _∆_ 2 a 4 a2 si ∆ < 0 Pas de solution si ∆ = 0 ( x + b )² = _∆_ devient : x + b = 0