Généralités sur les polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré

I- Généralités sur les polynômes

Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s’écrire sous la forme

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……… + a1x + a0

Où a0, a1, a2, ……… an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable.

Si an ≠ 0 le polynôme est de degré n

Exemple:

f(x) = (x+1)2 + (x-1)2 + x4 f(x) = x4 + 2x2 + 2
C’est un polynôme du 4ème degré.
Le coefficient de x4 vaut 1
Celui de x3 vaut 0
Celui de x2 vaut 2

g(x) = 2x + 1 est un binôme du premier degré p(x) = 3 est un polynôme de degré 0 f(x) = 0 est le polynôme nul: par convention ,il n’ a pas de degré.

-Polynômes identiques

Si pour tout x de R p(x) = q(x)

Alors p et q sont identiques

Propriété: Si 2 polynômes sont identiques, alors leurs coefficients sont égaux.

Exemple : pour tout x de R , ax2 + bx + c = 5x + 1
Par identification des coefficients, on obtient: a=0 , b=5 et c=1

II- Racines et factorisation d’un polynôme

Définition: les racines ou « zéros » d’un polynôme p sont les solutions de l’équation p(x) = 0

p(x) = 5x2 – 6x -8 p(2) = 5 x 22 – 6 x 2 -8 p(2) = 0

2 est une racine de p.

Propriété : si le réel a est racine du polynôme p, alors p est factorisable par
(x – a)

Il existe alors un polynôme q tel que p(x) = (x-a) x q(x)

Remarque: degré de q = (degré de q) -1

1ère méthode: par division

p(x) = 5x2 – 6x -8

La racine est 2, le polynôme est donc factorisable par (x – 2)

5x2 – 6x - 8 x - 2
- ( 5x2 – 10x) 5x + 4 0 4x - 8
- (4x - 8)

0

Conclusion: p(x) = 5x2 – 6x -8 = ( x – 2 ) ( 5x + 4 )

2ème méthode

p(x) =1 x3 + 7 x2 – 16 x - 4

2 est racine, p est factorisable par (x – 2)

p est du 3ème degré, il existe donc 3 réels tels que , pour tout x de R, x3 + 7 x2 – 16 x – 4 = ( x – 2 ) ( a x2 + b x + c )