Analyse discriminante

ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS 1 Signaux d’entrée Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2 A. 1er ordre à constante de temps FONCTION DE TRANSFERT : H= K 1+ T s 1 s+ 1 T REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K K = × 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T t y I (0 ) = K T K T y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =

Px=ax2+bx1+ca Px=ax2+2bx2a+ca Px=ax2+2bx2a+b24a2-b24a2+ca Px=ax+b2a-b24a+ca) Px=ax+b2a2+-b2+4ac4a Où α=-b2a et β=-b2+4ac4a Le nombre b2+4ac s’appelle le discriminant du polynôme et se note ∆. De fait, α=-b2a ; β=-∆4a2 et ∆=b2-4ac. III. Racines et factorisation d’un polynôme du second degré Théorème 4 : Soit Px=ax2+bx+c et ∆ sont discriminant, a) Si ∆&lt;0, alors Px n’admet pas de racines réels b) Si ∆=0, alors Px admet une seule racine en xS=-b2a et P(x) se factorise en Px=a(x-xS)2

x3 + x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x2 + mx + n). En développant et en identifiant les coefficients, on obtient m = −2 et n = 2. On vérifie que l’on a bien l’identité x3 + x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x2 − 2x + 2). Or, pour résoudre x2 − 2x + 2 = 0, on obtient un discriminant négatif ∆ = (−2)2 − 4 × 2 = −4. Ceci montre que le polynôme x2 − 2x + 2 ne possède pas de racine et donc le polynôme R ne peut pas avoir d’autre racine que la valeur −3. En conclusion, l’équation (3) possède une unique solution égale à −3 et on

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions :

algébrique. Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue z dans laquelle figurent on remplace dans l’équation donnée. ̅, on pose et Pour résoudre une équation du second degré d’inconnue z à coefficients réels, on calcule le discriminant ∆, suivant son signes on a alors des solutions réelles ou complexes conjuguées. Exemples : Résoudre dans ℂ chacune des équations suivantes : a) ( ) ) ̅ ) ) Comment déterminer un ensemble de points à partir de la forme algébrique

est un polynôme T de degré 2. Il existe donc trois réels a (≠0), b et c tels que, pour tout réel x : T(x)=ax2+bx+c Le polynôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+x−3 est un trinôme du second degré. On appelle discriminant du trinôme T le réel : Δ=b2−4ac On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel x par P(x)=2x2+1x−3 : Δ=12−4×2×(−3) Δ=1−(−24)=1+24=25 La forme canonique de T (c'est-à-dire l'écriture de T où la variable x n'apparaît qu'une seule fois, à la puissance 1) est

équation du type. Résoudre une équation du second degré c’est donc trouver tous les réels qui vérifient Les solutions de l’équation sont appelées racines du trinôme Définition : Soit une fonction polynôme de degré 2. avec Le discriminant de est le réel Le discriminant va nous permettre de dénombrer les solutions de l’aquation Proposition : 1° Cas : L’équation admet deux solutions notées . et Forme factorisée : Allure graphique : La parabole associée coupe l’axe des abscisses en deux endroits

Équations et inéquations du second degré 1/ Résolution de l’équation a x ² + b x + c = 0 avec a 0 On pose = b ² - 4 a c. est le discriminant de l'équation. b b Si > 0, alors l’équation a deux solutions : et 2a 2a b Si = 0, alors l’équation a une solution : . 2a Si < 0, alors l’équation n’a pas de solution. . Attention, ceci n’est valable que pour les équations du second degré. x2 - 2 x - 3 = 0 a = 1 ; b = - 2 ; c = - 3 donc = ( - 2 )2 - 4 x 2 + 6 x - 16 = 0 a = 1 ; b = 6 ; c = - 16 donc = 62

racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0. 2 Factorisation, racines et signe du trinôme : DÉFINITION On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac. 2-1 Si ∆ < 0 : Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R. Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a. x ax²+bx+c y a>0 −∝ Signe de a